Despre această fișă
Programa M_șt-nat are aceeași structură de examen ca celelalte variante, dar mai puține capitole decât mate-info. Am lăsat deoparte capitolele care țin de programa M1 și am păstrat formulele care apar frecvent în variantele de științele naturii. Pentru detaliile fine (ce intră și ce nu), sursa de referință rămâne programa oficială a sesiunii tale; diferențele generale sunt explicate în Diferențele dintre M1, M2 și M3.
Sfat: Nu citi fișa de la cap la coadă. Alege o secțiune, acoperă coloana cu formule și încearcă să o reconstruiești singur. Formulele pe care le-ai reconstruit greșit sunt cele pe care le recapitulezi a doua zi.
Subiectul I: numere, funcții, ecuații
| Ce ai de calculat | Formula de folosit |
|---|---|
| Produs și cât de puteri | aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| Radicali | √(a²) = |a|, √(ab) = √a·√b pentru a, b ≥ 0 |
| Logaritmi | loga(xy) = loga x + loga y, loga(x/y) = loga x − loga y, loga xⁿ = n·loga x |
| Condiții pentru logaritm | loga x există pentru a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
| Termenul unei progresii aritmetice | aₙ = a₁ + (n − 1)r; suma: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 |
| Termenul unei progresii geometrice | bₙ = b₁·qⁿ⁻¹; suma: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 |
| Trei termeni consecutivi a, b, c | aritmetică: 2b = a + c; geometrică: b² = ac |
| Funcția de gradul I | f(x) = ax + b este crescătoare pentru a > 0, descrescătoare pentru a < 0 |
| Vârful parabolei | V(−b/(2a), −Δ/(4a)), Δ = b² − 4ac |
| Rădăcinile ecuației de gradul II | x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a), x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a |
Pentru ecuații ai trei metode standard: la cele exponențiale aduci la aceeași bază (aˣ = aʸ ⇔ x = y), la cele logaritmice folosești definiția (loga x = b ⇔ x = aᵇ), iar la cele iraționale ridici la putere și verifici soluțiile. Teoria completă: Funcția de gradul al II-lea și Logaritmi.
Rezolvați ecuația 3ˣ⁺¹ = 81.
Rezolvare: 81 = 3⁴, deci 3ˣ⁺¹ = 3⁴, de unde x + 1 = 4 și x = 3.
Subiectul I: numărare, probabilități, procente
P(eveniment) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile
p% din a = p·a/100 a mărit cu p%: a·(1 + p/100) a micșorat cu p%: a·(1 − p/100)
- Permutări: așezi toate cele n obiecte, iar ordinea contează.
- Aranjamente: alegi k obiecte din n, iar ordinea contează.
- Combinări: alegi k obiecte din n, iar ordinea nu contează.
Un produs costă 200 de lei. Prețul crește cu 10%, apoi noul preț scade cu 10%. Cât costă produsul la final?
Rezolvare: după scumpire, 200·1,1 = 220 de lei; după ieftinire, 220·0,9 = 198 de lei. Observă că prețul final nu revine la 200: procentele se aplică de fiecare dată la valoarea curentă.
Mai multe exerciții: Permutări, aranjamente și combinări.
Subiectul I: geometrie și trigonometrie
| Ce ai de calculat | Formula de folosit |
|---|---|
| Lungimea segmentului AB | AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) |
| Mijlocul segmentului AB | M((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) |
| Panta dreptei AB | m = (yB − yA)/(xB − xA) |
| Dreapta prin A, de pantă m | y − yA = m(x − xA) |
| Drepte paralele / perpendiculare | m₁ = m₂ / m₁·m₂ = −1 |
| Vectori perpendiculari | x₁x₂ + y₁y₂ = 0 |
| Identitatea fundamentală | sin²x + cos²x = 1 |
| Unghiul dublu | sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x |
| Teorema cosinusului | a² = b² + c² − 2bc·cos A |
| Teorema sinusurilor | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R |
| Aria triunghiului | S = (1/2)·a·b·sin C |
Valorile remarcabile pe care trebuie să le ai „în reflex”: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = cos 30° = √3/2, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Toate formulele, cu exemple: Formule trigonometrice pentru BAC.
Subiectul al II-lea: matrice și sisteme
Pentru A = (a b; c d) cu det A ≠ 0: A⁻¹ = (1/det A)·(d −b; −c a)
det(A·B) = det A·det B A·I = I·A = A în general A·B ≠ B·A
Determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus: aduni cele trei produse de pe diagonala principală și „paralelele” ei, apoi scazi cele trei produse de pe diagonala secundară și „paralelele” ei.
Determinați inversa matricei A = (2 1; 5 3).
Rezolvare: det A = 2·3 − 1·5 = 1 ≠ 0, deci A este inversabilă și A⁻¹ = (3 −1; −5 2). Verificare: A·A⁻¹ = (2·3 − 1·5, −2 + 2; 15 − 15, −5 + 6) = (1 0; 0 1).
Teoria: Matrice și Determinanți.
Subiectul al II-lea: legi de compoziție
| Proprietate | Ce trebuie verificat |
|---|---|
| Comutativitate | x ∘ y = y ∘ x, pentru orice x, y |
| Asociativitate | (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), pentru orice x, y, z |
| Element neutru e | x ∘ e = e ∘ x = x, pentru orice x |
| Element simetrizabil | există x′ cu x ∘ x′ = x′ ∘ x = e |
Cele mai multe legi de la BAC se pot scrie sub forma x ∘ y = (x − a)(y − a) + a. Odată găsită această scriere, multe cerințe devin calcule simple. Vezi Legi de compoziție.
Pe ℝ se definește x ∘ y = xy − 2x − 2y + 6. Determinați elementul neutru.
Rezolvare: x ∘ y = (x − 2)(y − 2) + 2. Cerem x ∘ e = x: (x − 2)(e − 2) + 2 = x, adică (x − 2)(e − 2) = x − 2 pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3. Legea fiind comutativă, și e ∘ x = x.
Subiectul al III-lea: derivate
| f(x) | f′(x) | f(x) | f′(x) |
|---|---|---|---|
c (constantă) | 0 | eˣ | eˣ |
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | ln x | 1/x |
√x | 1/(2√x) | sin x | cos x |
1/x | −1/x² | cos x | −sin x |
Tangenta în punctul de abscisă x₀: y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀)
- Monotonie: pe intervalele unde
f′ > 0, f este strict crescătoare; undef′ < 0, strict descrescătoare. - Puncte de extrem: rădăcinile lui f′ în care derivata își schimbă semnul.
- Asimptotă orizontală spre +∞:
y = l, dacălimx→+∞ f(x) = lfinit. - Asimptotă verticală:
x = a, dacă una dintre limitele laterale în a este infinită.
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = x² + ln x în punctul de abscisă x₀ = 1.
Rezolvare: f(1) = 1 + 0 = 1, f′(x) = 2x + 1/x, deci f′(1) = 3. Tangenta: y − 1 = 3(x − 1), adică y = 3x − 2.
Tabelul complet: Derivate: tabelul complet și regulile de derivare.
Subiectul al III-lea: integrale
| Funcția | Primitiva (+ C) |
|---|---|
xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) |
1/x | ln|x| |
eˣ | eˣ |
sin x | −cos x |
cos x | sin x |
1/(x² + a²), a ≠ 0 | (1/a)·arctg(x/a) |
Aria dintre grafic, Ox și dreptele x = a, x = b: ∫ₐᵇ |f(x)| dx
Volumul corpului de rotație: V = π·∫ₐᵇ f²(x) dx
Pentru f : [0, 2] → ℝ, f(x) = x², calculați aria suprafeței delimitate de grafic, axa Ox și dreapta x = 2, apoi volumul corpului obținut prin rotirea graficului în jurul axei Ox.
Rezolvare: aria este ∫₀² x² dx = x³/3 |₀² = 8/3. Volumul este π∫₀² x⁴ dx = π·x⁵/5 |₀² = 32π/5.
Atenție: Verifică orice primitivă derivând-o. Dacă derivata rezultatului nu este exact funcția de sub integrală, ai greșit undeva. Mai multe capcane de acest fel găsești în 15 greșeli frecvente la BAC Matematică.
Întrebări frecvente
Sunt formulele de la M2 diferite de cele de la M1?
Formulele comune sunt identice: logaritmi, progresii, funcția de gradul al II-lea, trigonometrie, matrice, derivate și integrale. Diferența este că programa M2 nu include câteva capitole din M1, așa că fișa de M2 este mai scurtă.
Ce formule trebuie să știu sigur pentru nota de trecere la M2?
Cele de la Subiectul I (logaritmi, progresii, vârful parabolei, distanța dintre două puncte, valorile trigonometrice remarcabile), determinantul de ordin 2 și 3, tabelul de derivate și formula Leibniz–Newton. Ele acoperă Subiectul I și majoritatea punctelor a).
Unde verific exact ce capitole intră la M2?
Sursa oficială este programa de examen pentru M_șt-nat, publicată de Ministerul Educației pentru sesiunea în care susții examenul. Profesorul tău de matematică te poate ajuta să o interpretezi.