Determinantul de ordinul 2
Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice. Pentru o matrice de ordinul 2:
Adică produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. De exemplu, det (2 −1; 3 4) = 2·4 − (−1)·3 = 8 + 3 = 11.
Determinanții fac parte din programa clasei a XI-a și apar la toate programele, alături de operațiile cu matrice, aproape întotdeauna în prima problemă de la Subiectul al II-lea. Notația (a b; c d) folosită aici scrie matricea pe o linie, cu liniile separate prin punct și virgulă.
Determinantul de ordinul 3: regula lui Sarrus
Pentru A = (a₁₁ a₁₂ a₁₃; a₂₁ a₂₂ a₂₃; a₃₁ a₃₂ a₃₃):
Regula lui Sarrus te ajută să-ți amintești formula: rescrii primele două linii sub determinant. Cele trei „diagonale” paralele cu diagonala principală dau termenii cu plus, iar cele trei paralele cu diagonala secundară dau termenii cu minus. Alternativ, poți folosi regula triunghiului, care produce exact aceiași șase termeni fără a rescrie liniile.
Calculați determinantul matricei A = (1 2 3; 0 1 4; 5 6 0).
Rezolvare: Termenii cu plus: 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 = 0 + 40 + 0 = 40.
Termenii cu minus: 3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0 = 15 + 24 + 0 = 39.
Deci det A = 40 − 39 = 1.
Sfat: Scrie separat suma termenilor cu plus și suma termenilor cu minus, ca în exemplu, în loc să scrii o singură expresie lungă. Dacă greșești un semn, corectorul vede că metoda este corectă, iar tu găsești greșeala mai ușor la verificare.
Proprietățile determinanților
Proprietățile de mai jos te scutesc de multe calcule și sunt adesea cheia cerințelor b) și c):
det Aᵗ = det A(proprietățile despre linii sunt valabile și pentru coloane);- dacă o linie (sau coloană) are toate elementele zero, determinantul este 0;
- dacă două linii sunt egale sau proporționale, determinantul este 0;
- dacă schimbi două linii între ele, determinantul își schimbă semnul;
- un factor comun al unei linii se poate scoate în fața determinantului;
- dacă adaugi la o linie o altă linie înmulțită cu un număr, determinantul nu se schimbă;
det(A · B) = det A · det B;- pentru matrice de ordinul
n:det(k · A) = kⁿ · det A.
Atenție: det(2A) ≠ 2 det A. Pentru o matrice de ordinul 3, det(2A) = 2³ · det A = 8 det A, pentru că factorul 2 iese din fiecare dintre cele trei linii. Și, în general, det(A + B) ≠ det A + det B.
Un determinant care apare des este cel de tip Vandermonde:
De exemplu, det (1 1 1; 1 2 3; 1 4 9) = (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2.
Ecuații cu determinanți
Rezolvați în ℝ ecuația det (x 1 1; 1 x 1; 1 1 x) = 0.
Rezolvare: Cu Sarrus: det = x³ + 1 + 1 − x − x − x = x³ − 3x + 2.
Observăm că x = 1 este rădăcină și factorizăm: x³ − 3x + 2 = (x − 1)(x² + x − 2) = (x − 1)²(x + 2). Soluțiile sunt x = 1 și x = −2.
Variantă mai rapidă: adunăm toate coloanele la prima; prima coloană devine (x + 2, x + 2, x + 2), deci factorul x + 2 iese în fața determinantului, iar ce rămâne se calculează ușor.
Ecuațiile de gradul 3 obținute astfel se rezolvă prin ghicirea unei rădăcini și factorizare; metoda este detaliată în articolul despre polinoame.
Matricea inversă
O matrice pătratică A este inversabilă dacă există o matrice A⁻¹ cu A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = Iₙ. Criteriul este simplu:
A⁻¹ = (1 / det A) · A* (A* = matricea adjunctă)
Pentru ordinul 2 există o scurtătură: schimbi între ele elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celor de pe diagonala secundară și împarți la determinant.
De exemplu, A = (2 1; 5 3) are det A = 6 − 5 = 1, deci A⁻¹ = (3 −1; −5 2).
Pentru ordinul 3, pașii sunt:
- calculezi
det Ași verifici că este nenul; - scrii transpusa
Aᵗ; - înlocuiești fiecare element al lui
Aᵗcu complementul său algebric(−1)^(i+j) · Δᵢⱼ, undeΔᵢⱼeste determinantul de ordinul 2 obținut prin eliminarea linieiiși coloaneij; rezultatul esteA*; - împarți
A*ladet A.
Pentru matricea A = (1 2 3; 0 1 4; 5 6 0) din exemplul 1, cu det A = 1, se obține A⁻¹ = A* = (−24 18 5; 20 −15 −4; −5 4 1).
De exemplu, elementul de pe poziția (1, 1) al lui A* este complementul algebric al lui a₁₁: +det (1 4; 6 0) = 0 − 24 = −24.
Verificare: prima linie a lui A înmulțită cu prima coloană a lui A⁻¹: 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1. ✓
O problemă completă de Subiectul al II-lea
Se consideră matricea A(m) = (1 1 1; 1 m 1; 1 1 m), unde m este număr real.
a) Arătați că det A(m) = (m − 1)².
Rezolvare: Cu Sarrus: termenii cu plus sunt m² + 1 + 1 = m² + 2, iar cei cu minus m + 1 + m = 2m + 1. Deci det A(m) = m² + 2 − 2m − 1 = m² − 2m + 1 = (m − 1)².
b) Determinați valorile lui m pentru care matricea A(m) este inversabilă.
Rezolvare: A(m) este inversabilă ⇔ (m − 1)² ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, adică m ∈ ℝ \ {1}.
c) Determinați inversa matricei A(2).
Rezolvare: det A(2) = 1. Calculând complementele algebrice, obținem A(2)⁻¹ = (3 −1 −1; −1 1 0; −1 0 1).
Verificare: (1 1 1)·(3, −1, −1) = 1, (1 2 1)·(3, −1, −1) = 3 − 2 − 1 = 0, (1 1 2)·(3, −1, −1) = 3 − 1 − 2 = 0 — prima coloană a produsului este (1, 0, 0), ca la I₃. ✓
Matricea A(m) este matricea unui sistem liniar; faptul că determinantul se anulează pentru m = 1 înseamnă că sistemul asociat nu mai este de tip Cramer pentru această valoare. Continuarea firească este articolul despre sisteme de ecuații liniare.
Aplicații în geometrie
Pentru punctele A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) se folosește determinantul
A, B, C coliniare ⇔ Δ = 0 Aria triunghiului ABC = |Δ| / 2
De exemplu, punctele A(1, 2), B(3, 6) și C(−1, −2) sunt coliniare, pentru că determinantul corespunzător este 0, iar triunghiul cu vârfurile O(0, 0), B(4, 0), C(0, 3) are Δ = 12 și aria 6. Aceleași probleme se pot rezolva și cu ecuația dreptei; determinantul este însă mai rapid când apare un parametru.
Greșeli frecvente
- Semne greșite la termenii cu minus din Sarrus, mai ales când elementele sunt negative:
−(−2)·3·1 = +6. - Uitarea transpunerii la calculul lui
A*sau a semnelor(−1)^(i+j). - Concluzia că matricea este inversabilă fără a verifica
det A ≠ 0. - Confuzia între
det(kA)șik · det A.
Sfat: După ce calculezi o inversă, înmulțește o linie a lui A cu o coloană a lui A⁻¹. Dacă obții 1 pe diagonală și 0 în rest, ai lucrat corect. Durează un minut și salvează 5 puncte.
Întrebări frecvente
Cum calculez un determinant de ordinul 3?
Folosești regula lui Sarrus sau regula triunghiului: aduni cei trei produși paraleli cu diagonala principală și scazi cei trei produși paraleli cu diagonala secundară.
Când este o matrice inversabilă?
O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Atunci inversa este A⁻¹ = (1/det A) · A*, unde A* este matricea adjunctă.
Cât este det(2A) pentru o matrice de ordinul 3?
det(2A) = 2³ · det A = 8 · det A, pentru că factorul 2 se scoate din fiecare dintre cele trei linii.