Metoda generală
Subiectul I verifică materia de clasa a IX-a și a X-a. Ordinea exactă a exercițiilor poate varia, dar cele șase teme de mai jos acoperă marea majoritate a itemilor. Înainte să intrăm în detalii, trei reguli care se aplică la toate:
- Identifică tipul în primele 10 secunde. „Progresie aritmetică”, „vârful parabolei”, „probabilitatea ca…” sunt cuvinte-cheie care îți spun ce formulă vei folosi.
- Scrie formula, apoi înlocuiește. Baremul punctează de obicei formula aplicată corect ca etapă separată.
- Verifică pe loc. La Subiectul I, verificarea durează mai puțin decât rezolvarea. Nu o amâna pentru final.
Ținta realistă este de 5–6 minute pe exercițiu. Despre cum se încadrează Subiectul I în cele trei ore de examen poți citi în Gestionarea timpului la BAC Matematică.
Tipul 1: numere reale și progresii
Primul exercițiu cere de obicei un calcul cu puteri, radicali, logaritmi sau fracții, ori o proprietate a unei progresii. Totul se reduce la formule pe care trebuie să le știi fără ezitare.
aₙ = a₁ + (n − 1)r Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)r) / 2
a) Arătați că log₃ 6 + log₃ 15 − log₃ 10 = 2.
b) Într-o progresie aritmetică, a₂ = 5 și a₄ = 11. Calculați S₁₀.
Rezolvare: a) log₃ (6·15/10) = log₃ 9 = 2.
b) a₄ − a₂ = 2r = 6, deci r = 3 și a₁ = 2. Atunci S₁₀ = 10·(2·2 + 9·3)/2 = 5·31 = 155.
Teoria completă: Progresii aritmetice și Logaritmi: proprietăți și ecuații.
Tipul 2: funcții
Al doilea tip privește aproape mereu funcția de gradul I sau al II-lea: vârful parabolei, intersecția cu axele, valoarea într-un punct, relațiile lui Viète.
Se consideră f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 4x + 3. Determinați coordonatele vârfului parabolei și punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.
Rezolvare: xV = −(−4)/2 = 2 și yV = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, deci V(2, −1). Pentru intersecția cu Ox rezolvăm x² − 4x + 3 = 0: x = 1 sau x = 3. Punctele sunt (1, 0) și (3, 0).
Sfat: Pentru yV e adesea mai rapid să calculezi f(xV) decât −Δ/(4a), iar rezultatul îți servește și ca verificare. Mai multe în Funcția de gradul al II-lea.
Tipul 3: ecuații
Al treilea exercițiu este de obicei o ecuație irațională, exponențială sau logaritmică. Fiecare are o metodă standard:
- iraționale — ridici la pătrat, apoi verifici soluțiile;
- exponențiale — aduci la aceeași bază sau notezi
t = aˣ; - logaritmice — scrii condițiile, apoi folosești definiția logaritmului.
a) Rezolvați √(2x + 1) = x − 1.
b) Rezolvați 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0.
Rezolvare: a) Ridicând la pătrat: 2x + 1 = x² − 2x + 1, deci x² − 4x = 0, cu soluțiile x = 0 și x = 4. Verificare: pentru x = 0, √1 = 1 ≠ −1, deci nu convine; pentru x = 4, √9 = 3 = 4 − 1. Soluția este x = 4.
b) Notăm t = 2ˣ > 0: t² − 3t + 2 = 0, deci t = 1 sau t = 2. De aici x = 0 sau x = 1.
Detalii: Ecuații iraționale și Ecuații exponențiale.
Tipul 4: numărare și probabilități
Al patrulea exercițiu cere fie un calcul cu permutări, aranjamente și combinări, fie o probabilitate. La probabilități, toată greutatea stă în numărarea corectă a cazurilor.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.
Rezolvare: Numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci sunt 90 de cazuri posibile. Pătratele perfecte de două cifre sunt 16, 25, 36, 49, 64, 81, deci 6 cazuri favorabile. P = 6/90 = 1/15.
Vezi și Probabilități la BAC Matematică.
Tipul 5: geometrie analitică
Al cincilea exercițiu lucrează în reperul cartezian: distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, ecuația unei drepte, drepte paralele sau perpendiculare, ori vectori.
d₁ ∥ d₂ ⇔ m₁ = m₂ d₁ ⊥ d₂ ⇔ m₁·m₂ = −1
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(3, 6) și C(0, 1). Calculați lungimea segmentului AB și determinați ecuația dreptei care trece prin C și este paralelă cu AB.
Rezolvare: AB = √(2² + 4²) = √20 = 2√5. Panta dreptei AB este m = (6 − 2)/(3 − 1) = 2. Dreapta paralelă prin C are aceeași pantă: y − 1 = 2(x − 0), adică y = 2x + 1.
Teoria: Ecuația dreptei.
Tipul 6: trigonometrie
Ultimul exercițiu este de obicei de trigonometrie: valori remarcabile, formule de bază sau rezolvarea unui triunghi cu teorema sinusurilor ori a cosinusului.
În triunghiul ABC, AB = 6, AC = 8 și m(∠A) = 60°. Calculați BC și aria triunghiului.
Rezolvare: Cu teorema cosinusului: BC² = 36 + 64 − 2·6·8·(1/2) = 100 − 48 = 52, deci BC = √52 = 2√13. Aria: S = (1/2)·6·8·sin 60° = 24·(√3/2) = 12√3.
Atenție: Valorile remarcabile (sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2 etc.) trebuie să le știi pe de rost. O valoare încurcată compromite tot exercițiul. Tabelul complet este în Formule trigonometrice pentru BAC.
Cum te antrenezi pentru viteză
Viteza la Subiectul I nu vine din grabă, ci din automatisme. Un program simplu, de câteva săptămâni:
- Pe tipuri: în fiecare zi, 10 exerciții din același tip. Vei observa că după câteva zile nu mai cauți formula.
- Pe subiecte complete: de două ori pe săptămână, un Subiect I întreg, cronometrat. Notează timpul.
- Analiza timpului: dacă un tip îți ia constant peste 7 minute, el devine prioritatea săptămânii următoare.
Ca să știi pe ce merită să insiști, uită-te și la capcanele tipice din 15 greșeli frecvente la BAC Matematică: multe dintre ele apar exact la Subiectul I.
Întrebări frecvente
Cât timp ar trebui să-mi ia Subiectul I la BAC Matematică?
Un ritm bun este de 30–35 de minute pentru toate cele 6 exerciții, inclusiv verificarea. Asta lasă suficient timp pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, care au cerințe mai lungi.
Trebuie să rezolv exercițiile de la Subiectul I în ordine?
Nu. Poți începe cu exercițiul care ți se pare cel mai sigur. Important este să notezi clar numărul fiecărui exercițiu pe foaia de examen.
Ajunge Subiectul I pentru nota 5?
Subiectul I complet aduce 30 de puncte, care, împreună cu cele 10 din oficiu, înseamnă nota 4. Pentru nota 5 îți mai trebuie încă 10 puncte, de obicei din punctele a) de la Subiectele al II-lea și al III-lea.