Formula Leibniz–Newton
Fie f : [a, b] → ℝ o funcție continuă și F o primitivă a ei. Atunci:
Notația F(x) |ab se citește „F de x luat între a și b” și este acceptată în redactare. Practic, rezolvarea oricărei integrale definite are trei etape: găsești o primitivă, o evaluezi în capătul de sus, apoi scazi valoarea din capătul de jos.
Integrala definită apare la Subiectul al III-lea, problema 2, la toate programele cu analiză. La M3 cerințele rămân de obicei la calcul direct și arie, la M2 apar și metodele de integrare și volumul, iar la M1 se adaugă limite de integrale și funcții definite printr-o integrală.
Proprietățile integralei definite
Pentru f, g continue pe [a, b] și α, β ∈ ℝ:
Aditivitate: ∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx, c ∈ [a, b]
Inversarea capetelor: ∫ba f dx = −∫ab f dx, ∫aa f dx = 0
Pozitivitate: f ≥ 0 pe [a, b] ⇒ ∫ab f dx ≥ 0
Monotonie: f ≤ g pe [a, b] ⇒ ∫ab f dx ≤ ∫ab g dx
Aditivitatea este proprietatea pe care o folosești la funcțiile definite pe ramuri și la funcțiile cu modul. Monotonia este baza tuturor cerințelor de tip „arătați că integrala este mai mică decât…”.
Sfat: când capetele sunt 0 și 1, evaluarea în 0 nu este întotdeauna zero. e⁰ = 1, cos 0 = 1, ln 1 = 0 — scrie explicit ambele valori și abia apoi scade.
Exerciții rezolvate
Calculați ∫01 (x² + 2x) dx.
Rezolvare: O primitivă este F(x) = x³/3 + x². Atunci
∫01 (x² + 2x) dx = (x³/3 + x²) |01 = (1/3 + 1) − 0 = 4/3.
Calculați ∫1e (1/x + 1) dx.
Rezolvare: ∫1e (1/x + 1) dx = (ln x + x) |1e = (ln e + e) − (ln 1 + 1) = (1 + e) − 1 = e.
Pe [1, e] avem x > 0, deci ln |x| = ln x.
Se consideră f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 pentru x ≤ 0 și f(x) = eˣ pentru x > 0. Calculați ∫−11 f(x) dx.
Rezolvare: Mai întâi observăm că f este continuă în 0: limita la stânga este 0 + 1 = 1, iar cea la dreapta e⁰ = 1. Deci f este continuă pe ℝ și integrabilă. Împărțim intervalul în 0:
∫−10 (x + 1) dx = (x²/2 + x) |−10 = 0 − (1/2 − 1) = 1/2;
∫01 eˣ dx = eˣ |01 = e − 1.
Prin aditivitate, ∫−11 f(x) dx = 1/2 + e − 1 = e − 1/2.
Determinați numărul real a > 0 pentru care ∫0a (2x + 1) dx = 6.
Rezolvare: ∫0a (2x + 1) dx = (x² + x) |0a = a² + a. Ecuația a² + a − 6 = 0 are soluțiile a = 2 și a = −3. Cum a > 0, rămâne a = 2.
Partea de final este o simplă ecuație de gradul al doilea, dar nu uita să elimini soluția care nu respectă condiția din enunț.
Calculați ∫01 x/(x² + 1) dx.
Rezolvare: Scriem x/(x² + 1) = (1/2)·2x/(x² + 1), iar 2x este derivata lui x² + 1. Deci
∫01 x/(x² + 1) dx = (1/2)·ln(x² + 1) |01 = (1/2)(ln 2 − ln 1) = (ln 2)/2.
Când nici tabelul, nici o rescriere simplă nu funcționează — de exemplu la ∫01 x·eˣ dx — ai nevoie de una dintre metodele din articolul Integrarea prin părți și schimbarea de variabilă.
Funcții pare și impare pe intervale simetrice
Pe un interval simetric [−a, a], paritatea funcției poate scurta calculul la aproape nimic:
f pară (f(−x) = f(x)) ⇒ ∫−aa f(x) dx = 2∫0a f(x) dx
Calculați ∫−11 (x⁵ + 3x²) dx.
Rezolvare: x⁵ este impară, deci integrala ei pe [−1, 1] este 0. 3x² este pară: 2∫01 3x² dx = 2·x³ |01 = 2. Rezultatul este 2.
Atenție: dacă folosești paritatea, demonstrează-o în lucrare (scrie f(−x) = −f(x) pentru orice x). O afirmație fără argument poate să nu fie punctată integral.
Inegalități și limite cu integrale (M1)
La M1, punctul c) cere des o inegalitate sau o limită a unui șir de integrale. Ideea de bază este proprietatea de monotonie: încadrezi funcția de sub integrală între două funcții ușor de integrat.
Pentru n ∈ ℕ* se consideră Iₙ = ∫01 xⁿ·eˣ dx. Arătați că limn→∞ Iₙ = 0.
Rezolvare: Pentru x ∈ [0, 1] avem 1 ≤ eˣ ≤ e, deci 0 ≤ xⁿ·eˣ ≤ e·xⁿ. Prin monotonia integralei:
0 ≤ Iₙ ≤ e·∫01 xⁿ dx = e/(n + 1).
Cum e/(n + 1) → 0, din criteriul cleștelui rezultă lim Iₙ = 0.
Tot la M1 apare funcția definită printr-o integrală, F(x) = ∫ax f(t) dt, cu f continuă. Ea este o primitivă a lui f, deci F′(x) = f(x). De exemplu, pentru F(x) = ∫0x (t² + 1) dt avem F′(x) = x² + 1 > 0, deci F este strict crescătoare — fără să calculezi efectiv integrala. Detalii despre limitele care apar aici găsești în Limite de funcții.
Greșeli frecvente
- Ordinea scăderii: este
F(b) − F(a), capătul de sus minus capătul de jos. - Paranteze lipsă:
F(b) − F(a)cuF(a) = 1/2 − 1devine− (1/2 − 1), nu− 1/2 − 1. - Confuzia integrală–arie:
∫02π sin x dx = 0, dar aria dintre grafic și axa Ox pe același interval este4. Pentru arii, citește Aria și volumul cu integrale. - Ignorarea ramurilor: nu integra o singură formulă pe tot intervalul dacă funcția se schimbă în interior.
- Funcții nedefinite pe interval:
∫ 1/x dxnu are sens pe[−1, 1], pentru că funcția nu este definită în0.
Întrebări frecvente
Mai scriu + C la integrala definită?
Nu. Integrala definită este un număr. Constanta C s-ar aduna la F(b) și s-ar scădea la F(a), deci se reduce. Scrii direct F(b) − F(a).
Poate o integrală definită să fie negativă?
Da. Dacă funcția este negativă pe interval, integrala este negativă. De aceea integrala definită nu este întotdeauna egală cu aria: aria se calculează cu modulul funcției.
Ce fac dacă funcția are două ramuri?
Împarți intervalul de integrare în punctul în care se schimbă formula, folosind proprietatea de aditivitate față de interval, și integrezi fiecare ramură separat pe porțiunea ei.