Definiție și grafic
Funcția f : ℝ → ℝ,
se numește funcție de gradul al II-lea. Graficul ei este o parabolă. Coeficientul a decide forma:
a > 0— parabola are „brațele în sus” și funcția are un minim;a < 0— parabola are „brațele în jos” și funcția are un maxim.
Intersecția cu axa Oy este întotdeauna punctul (0, c), pentru că f(0) = c.
Discriminantul și rădăcinile
Intersecția cu axa Ox înseamnă rezolvarea ecuației ax² + bx + c = 0, al cărei comportament depinde de discriminant:
x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
| Δ | Rădăcini reale | Graficul și axa Ox |
|---|---|---|
Δ > 0 | două, distincte | intersectează Ox în două puncte |
Δ = 0 | una dublă, x = −b/(2a) | este tangent la Ox (un singur punct comun) |
Δ < 0 | niciuna | nu intersectează Ox |
Când Δ ≥ 0, funcția se poate scrie în forma descompusă f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Sumele și produsele rădăcinilor se calculează fără să afli rădăcinile, cu relațiile lui Viète. Iar dacă ești la M1, cazul Δ < 0 nu înseamnă „fără soluții” în ℂ: rădăcinile sunt numere complexe conjugate.
Vârful parabolei și axa de simetrie
Vârful este punctul „de întoarcere” al parabolei:
Parabola este simetrică față de dreapta verticală x = −b/(2a), numită axa de simetrie. O consecință practică: dacă f(x₁) = f(x₂) pentru x₁ ≠ x₂, atunci abscisa vârfului este exact la mijloc, (x₁ + x₂)/2.
Sfat: ordonata vârfului o poți calcula și ca f(xV), adică înlocuind abscisa în funcție. Folosește ambele metode ca verificare reciprocă — dacă rezultatele diferă, ai greșit undeva un semn.
Forma canonică pune vârful în evidență și este utilă când trebuie să găsești funcția dintr-un vârf dat:
Monotonie, minim și maxim
| pe (−∞, −b/(2a)] | pe [−b/(2a), +∞) | Valoare extremă | Mulțimea valorilor | |
|---|---|---|---|---|
a > 0 | descrescătoare | crescătoare | minim −Δ/(4a) | [−Δ/(4a), +∞) |
a < 0 | crescătoare | descrescătoare | maxim −Δ/(4a) | (−∞, −Δ/(4a)] |
Valoarea extremă se atinge în x = −b/(2a). Problemele de tip „care este aria maximă a unui dreptunghi cu perimetrul dat” se reduc, de fapt, la găsirea vârfului unei parabole.
Semnul funcției și inecuații
Regula de semn, în funcție de Δ:
Δ > 0: f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini;Δ = 0: f are semnul lui a peste tot, cu excepția rădăcinii duble, unde se anulează;Δ < 0: f are semnul lui a pe tot ℝ.
De aici rezultă două condiții folosite foarte des:
f(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ ℝ ⇔ a > 0 și Δ ≤ 0
Exerciții rezolvate
Fie f(x) = x² − 4x + 3. Determinați intersecțiile cu axele, vârful parabolei și mulțimea valorilor.
Rezolvare: Δ = 16 − 12 = 4, rădăcinile sunt (4 ± 2)/2, adică 1 și 3. Intersecțiile cu Ox: (1, 0) și (3, 0); cu Oy: (0, 3).
Vârful: xV = 4/2 = 2, yV = −4/4 = −1; verificare: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Cum a = 1 > 0, minimul este −1, iar mulțimea valorilor este [−1, +∞).
Determinați numărul real m pentru care graficul funcției f(x) = x² − 2x + m intersectează axa Ox într-un singur punct.
Rezolvare: condiția este Δ = 0: 4 − 4m = 0, deci m = 1. Atunci f(x) = (x − 1)², iar punctul comun cu Ox este (1, 0).
Determinați valoarea maximă a funcției f(x) = −x² + 6x − 5.
Rezolvare: a = −1 < 0, deci funcția are maxim în xV = −6/(−2) = 3. Valoarea maximă este f(3) = −9 + 18 − 5 = 4. Cu formula: Δ = 36 − 20 = 16 și −Δ/(4a) = −16/(−4) = 4.
Determinați punctele de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = x² − 3x + 2 și g(x) = x − 1.
Rezolvare: x² − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x² − 4x + 3 = 0, cu soluțiile 1 și 3. Ordonatele: g(1) = 0, g(3) = 2. Punctele sunt (1, 0) și (3, 2); verificare: f(3) = 9 − 9 + 2 = 2.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care x² + 2x + m > 0, pentru orice x real.
Rezolvare: a = 1 > 0, deci condiția este Δ < 0: 4 − 4m < 0 ⇔ m > 1. Răspuns: m ∈ (1, +∞).
Rezolvați inecuația x² − 5x + 6 ≤ 0.
Rezolvare: rădăcinile sunt 2 și 3. Coeficientul lui x² este pozitiv, deci expresia este negativă sau nulă între rădăcini: x ∈ [2, 3].
Determinați funcția f(x) = x² + bx + c al cărei grafic are vârful V(1, −4).
Rezolvare: cu forma canonică, f(x) = (x − 1)² − 4 = x² − 2x − 3, deci b = −2, c = −3. Verificare: −b/(2a) = 1 și f(1) = 1 − 2 − 3 = −4.
Un dreptunghi are perimetrul 20. Determinați dimensiunile pentru care aria lui este maximă.
Rezolvare: dacă o latură este x, cealaltă este 10 − x, cu 0 < x < 10. Aria este A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, o funcție de gradul al II-lea cu a = −1 < 0. Maximul se atinge în xV = −10/(−2) = 5, iar aria maximă este A(5) = 25. Dreptunghiul optim este pătratul cu latura 5.
Greșeli frecvente
Minusul din formula vârfului. Ordonata vârfului este −Δ/(4a), cu minus în față. Pentru f(x) = x² − 4x + 3, Δ = 4 dă yV = −1, nu 1.
Calculul lui Δ cu b negativ. b² este întotdeauna pozitiv: pentru b = −4, b² = 16. Scrie paranteza explicit: (−4)² − 4·1·3.
Uitarea condiției a ≠ 0 la parametri. Dacă coeficientul lui x² conține un parametru, de exemplu (m − 1)x² + …, cazul m = 1 trebuie tratat separat — funcția devine de gradul I.
Intervalul greșit la inecuații. „Între rădăcini” sau „în afara rădăcinilor” depinde de semnul lui a. Dacă ai dubii, desenează parabola pe ciornă.
Funcția de gradul al II-lea este cerută frecvent la Subiectul I și reapare la analiză, unde monotonia se studiază cu derivata. Formulele de mai sus fac parte din orice fișă de recapitulare, de exemplu fișa de formule M2.
Întrebări frecvente
Care sunt coordonatele vârfului parabolei?
Vârful parabolei y = ax² + bx + c este V(−b/(2a), −Δ/(4a)), unde Δ = b² − 4ac. Ordonata se poate calcula și ca f(−b/(2a)).
Când intersectează graficul funcției de gradul al II-lea axa Ox?
Dacă Δ > 0, în două puncte; dacă Δ = 0, într-un singur punct (graficul este tangent la Ox); dacă Δ < 0, graficul nu intersectează axa Ox.
Când este f(x) = ax² + bx + c pozitivă pentru orice x real?
Funcția este strict pozitivă pe ℝ dacă și numai dacă a > 0 și Δ < 0.