Valori remarcabile
Acesta este tabelul pe care trebuie să-l poți reconstitui oricând, fără ezitare. Un truc pentru sinus pe unghiurile 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: valorile sunt √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.
| x | 0° | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 |
| tg x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | nu există | 0 |
| ctg x | nu există | √3 | 1 | √3/3 | 0 | nu există |
Trigonometria se studiază în clasele a IX-a și a X-a și apare la Subiectul I, de obicei în exercițiul de calcul trigonometric sau în cel de geometrie. Volumul de formule diferă între programe: formulele din primele secțiuni sunt comune, în timp ce transformările sumelor în produse și ecuațiile trigonometrice apar în special la M1. Verifică în programa ta exact ce formule sunt incluse.
Formula fundamentală și semnele pe cadrane
tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x, tg x · ctg x = 1
−1 ≤ sin x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1
Formula fundamentală dă doar pătratul lui cos x sau sin x. Semnul îl alegi după cadran:
| Cadranul | Interval | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|---|
| I | (0, π/2) | + | + | + |
| II | (π/2, π) | + | − | − |
| III | (π, 3π/2) | − | − | + |
| IV | (3π/2, 2π) | − | + | − |
Reducerea la primul cadran
Orice valoare trigonometrică se poate aduce la un unghi din primul cadran. Formulele cele mai folosite:
sin(90° − x) = cos x, cos(90° − x) = sin x
sin(180° − x) = sin x, cos(180° − x) = −cos x
sin(180° + x) = −sin x, cos(180° + x) = −cos x
sin(x + 360°) = sin x, cos(x + 360°) = cos x, tg(x + 180°) = tg x
De exemplu, sin 120° = sin(180° − 60°) = √3/2, cos 135° = −cos 45° = −√2/2, iar cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
Sfat: perechile de unghiuri suplementare (suma 180°) au același sinus și cosinusuri opuse. Această observație rezolvă rapid sumele lungi de tipul cos 1° + cos 2° + … + cos 179°.
Formule de adunare și unghi dublu
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 − tg a · tg b)
Punând a = b = x obții formulele unghiului dublu:
cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
tg 2x = 2 tg x / (1 − tg²x)
sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2
Ultimele două formule sunt indispensabile și în analiză, de exemplu la integrala lui sin²x din calculul volumelor de rotație.
Transformarea sumelor în produse
sin a − sin b = 2 sin((a − b)/2) cos((a + b)/2)
cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) cos((a − b)/2)
cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) sin((a − b)/2)
Sunt utile când ai de simplificat sau de demonstrat o identitate cu sume de sinusuri sau cosinusuri. Atenție la semnul minus din ultima formulă — este cea mai des greșită.
Exemple rezolvate
Știind că sin x = 3/5 și x ∈ (π/2, π), calculați cos x, tg x, sin 2x și cos 2x.
Rezolvare: cos²x = 1 − 9/25 = 16/25. Cum x este în cadranul II, cos x < 0, deci cos x = −4/5.
tg x = (3/5) / (−4/5) = −3/4.
sin 2x = 2 · (3/5) · (−4/5) = −24/25; cos 2x = 1 − 2 · 9/25 = 7/25.
Verificare: (−24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 1 ✓.
Calculați sin 75°.
Rezolvare: 75° = 45° + 30°, deci
sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
Analog, cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√6 − √2)/4. Deoarece 15° = 90° − 75°, ai gratuit și cos 15° = (√6 + √2)/4.
Calculați S = cos 1° + cos 2° + cos 3° + … + cos 179°.
Rezolvare: Grupăm termenii simetrici: cos k° + cos(180° − k)° = cos k° − cos k° = 0, pentru k = 1, 2, …, 89. Rămâne termenul din mijloc, cos 90° = 0. Deci S = 0.
Știind că tg x = 2, calculați tg 2x și sin 2x.
Rezolvare: tg 2x = 2·2 / (1 − 4) = −4/3.
Pentru sin 2x, împărțim la sin²x + cos²x = 1: sin 2x = 2 sin x cos x / (sin²x + cos²x) = 2 tg x / (1 + tg²x) = 4/5.
Calculați E = sin 150° + cos 120° + tg 135°.
Rezolvare: sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 120° = −cos 60° = −1/2, tg 135° = −tg 45° = −1. Deci E = 1/2 − 1/2 − 1 = −1.
a) Arătați că (sin x + cos x)² − sin 2x = 1 pentru orice x ∈ ℝ. b) Rezolvați ecuația sin x = 1/2 pentru x ∈ [0, 2π).
Rezolvare: a) (sin x + cos x)² = sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = 1 + sin 2x, deci expresia este 1.
b) În primul cadran, sin(π/6) = 1/2. Sinusul este pozitiv și în cadranul II, unde sin(π − π/6) = sin(5π/6) = 1/2. Soluțiile sunt x ∈ {π/6, 5π/6}.
Greșeli frecvente
- Semnul ignorat după formula fundamentală: din
cos²x = 16/25nu rezultă automatcos x = 4/5; contează cadranul. - „Liniarizarea” sinusului:
sin(a + b) ≠ sin a + sin bșisin 2x ≠ 2 sin x. - Semnul la
cos(a + b): estecos a cos b minus sin a sin b. - Grade și radiani amestecați:
π/6este30°, nuπ/6°. Folosește un singur sistem pe tot exercițiul. - Soluții pierdute la ecuații: pe
[0, 2π), ecuațiasin x = 1/2are două soluții, nu una.
Formulele de aici sunt motorul pentru teorema sinusurilor și a cosinusului, iar produsul scalar din articolul despre vectori folosește direct valorile cosinusului. Pentru limitele cu funcții trigonometrice, cum ar fi sin x / x, vezi limitele remarcabile.
Întrebări frecvente
Cum aflu cos x dacă știu sin x?
Folosești formula fundamentală sin²x + cos²x = 1, deci cos²x = 1 − sin²x. Semnul lui cos x îl stabilești din cadranul în care se află x: pozitiv în cadranele I și IV, negativ în cadranele II și III.
Care sunt cele trei forme ale lui cos 2x?
cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x. Alegi forma care conține informația pe care o ai: dacă știi doar sin x, folosești 1 − 2sin²x; dacă știi doar cos x, folosești 2cos²x − 1.
Trebuie să învăț toate formulele pe de rost?
Formula fundamentală, valorile remarcabile și formulele pentru sin(a + b) și cos(a + b) merită memorate. Multe altele se deduc din ele: unghiul dublu se obține punând a = b, iar formulele pentru sin²x și cos²x se obțin din cos 2x.