Noțiuni de bază
O matrice cu m linii și n coloane este un tablou de numere notat A = (aᵢⱼ), unde aᵢⱼ este elementul de pe linia i și coloana j. Mulțimea acestor matrice se notează Mₘ,ₙ(ℝ), iar dacă m = n matricea este pătratică, iar mulțimea se notează Mₙ(ℝ).
În text, scriem matricele de ordinul 2 pe o linie, separând liniile prin punct și virgulă: A = (1 2; 3 4) înseamnă matricea cu prima linie 1, 2 și a doua linie 3, 4.
tr A = a₁₁ + a₂₂ (urma: suma elementelor de pe diagonala principală)
Matricele sunt în programa clasei a XI-a și apar la toate programele (M1, M2, M3), de regulă în prima problemă a Subiectului al II-lea, împreună cu determinanții și sistemele de ecuații liniare.
Două matrice sunt egale dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare egale. Astfel, o egalitate de matrice 2 × 2 înseamnă patru egalități de numere — un mod frecvent de a obține sisteme de ecuații în cerințele b).
Adunarea și înmulțirea cu un scalar
Se fac element cu element:
k · (a b; c d) = (ka kb; kc kd)
Adunarea este comutativă și asociativă, iar O₂ este element neutru. Exemplu: pentru A = (3 −1; 2 1) și B = (1 1; 0 2), avem 2A − 3B = (6 − 3 −2 − 3; 4 − 0 2 − 6) = (3 −5; 4 −4).
Înmulțirea matricelor
Produsul A · B există doar dacă numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B. Elementul de pe linia i și coloana j al produsului se obține înmulțind linia i din A cu coloana j din B („linie pe coloană”):
Proprietăți: înmulțirea este asociativă, distributivă față de adunare, iar I₂ este element neutru (A · I₂ = I₂ · A = A). Dar înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Fie A = (1 1; 0 1) și B = (1 0; 1 1). Calculați AB și BA.
Rezolvare: AB = (1·1 + 1·1 1·0 + 1·1; 0·1 + 1·1 0·0 + 1·1) = (2 1; 1 1).
BA = (1·1 + 0·0 1·1 + 0·1; 1·1 + 1·0 1·1 + 1·1) = (1 1; 1 2).
Deci AB ≠ BA.
O consecință importantă: formulele de calcul prescurtat nu mai sunt valabile în general. (A + B)² = A² + AB + BA + B², care este egal cu A² + 2AB + B² doar dacă AB = BA.
Transpusa unei matrice
Transpusa Aᵗ se obține transformând liniile în coloane. Pentru A = (1 2; 3 4), Aᵗ = (1 3; 2 4), iar A + Aᵗ = (2 5; 5 8), o matrice simetrică.
Puterile unei matrice
Pentru o matrice pătratică, A² = A · A, A³ = A² · A și așa mai departe. La BAC se cere de obicei Aⁿ pentru n natural oarecare. Strategia: calculezi A², A³, observi regula și o demonstrezi prin inducție matematică (la M1) sau o justifici prin calcul direct.
Fie A = (1 2; 0 1). Arătați că Aⁿ = (1 2n; 0 1) pentru orice n ∈ ℕ*.
Rezolvare: A² = (1 4; 0 1), A³ = (1 6; 0 1), ceea ce sugerează formula.
Pentru n = 1, formula este evident adevărată. Presupunem Aⁿ = (1 2n; 0 1). Atunci Aⁿ⁺¹ = Aⁿ · A = (1 2n; 0 1)(1 2; 0 1) = (1 2 + 2n; 0 1) = (1 2(n + 1); 0 1). Deci formula este adevărată pentru orice n ≥ 1. De exemplu, A¹⁰ = (1 20; 0 1).
Un caz particular util: dacă A = (1 1; 1 1), atunci A² = 2A, de unde Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A. Pentru n = 5, A⁵ = 16A = (16 16; 16 16).
Pentru orice matrice de ordinul 2 este valabilă relația:
Fie A = (2 1; 1 2). Arătați că A² − 4A + 3I₂ = O₂.
Rezolvare: A² = (2·2 + 1·1 2·1 + 1·2; 1·2 + 2·1 1·1 + 2·2) = (5 4; 4 5). Atunci A² − 4A + 3I₂ = (5 − 8 + 3 4 − 4 + 0; 4 − 4 + 0 5 − 8 + 3) = O₂.
Rezultatul confirmă relația de mai sus: tr A = 4 și det A = 4 − 1 = 3.
Sfat: Relația A² = (tr A)·A − (det A)·I₂ transformă orice putere a unei matrice 2 × 2 într-o combinație de A și I₂. De exemplu, din A² = 4A − 3I₂ rezultă A³ = 4A² − 3A = 4(4A − 3I₂) − 3A = 13A − 12I₂.
Matrice care depind de un parametru
Un tipar foarte des întâlnit: A(x) = I₂ + x · B, unde B are proprietatea B² = O₂. Atunci A(x) · A(y) = A(x + y), iar problema se rezolvă aproape în întregime cu această relație.
Se consideră matricea B = (1 −1; 1 −1) și, pentru orice număr real x, matricea A(x) = I₂ + xB = (1 + x −x; x 1 − x).
a) Arătați că det A(x) = 1 pentru orice x ∈ ℝ.
Rezolvare: det A(x) = (1 + x)(1 − x) − (−x) · x = 1 − x² + x² = 1.
b) Arătați că A(x) · A(y) = A(x + y) pentru orice x, y ∈ ℝ.
Rezolvare: B² = (1·1 + (−1)·1 1·(−1) + (−1)(−1); 1·1 + (−1)·1 1·(−1) + (−1)(−1)) = O₂. Atunci A(x)A(y) = (I₂ + xB)(I₂ + yB) = I₂ + xB + yB + xyB² = I₂ + (x + y)B = A(x + y).
c) Determinați numărul real x pentru care A(1) · A(2) · A(3) = A(x) · A(x).
Rezolvare: Aplicând de două ori b), membrul stâng este A(1 + 2 + 3) = A(6), iar membrul drept este A(2x). Cum A(u) = A(v) implică uB = vB, iar B ≠ O₂, rezultă u = v. Deci 2x = 6, adică x = 3.
Relația A(x)A(y) = A(x + y) mai spune ceva: A(x) · A(−x) = A(0) = I₂, deci inversa lui A(x) este A(−x). Calculul inversei în cazul general este explicat în articolul despre determinanți și matricea inversă. Structuri de acest tip, în care mulțimea matricelor A(x) este închisă la înmulțire, apar la M1 și în problemele despre grupuri.
Greșeli frecvente
- Înmulțirea „element cu element” în loc de „linie pe coloană”.
- Folosirea lui
(A + B)² = A² + 2AB + B²fără caAșiBsă comute. - Scrierea
A + 3în loc deA + 3I₂: o matrice nu se adună cu un număr. - Simplificarea lui
Adintr-o egalitateAX = AYfără a ști căAeste inversabilă.
Atenție: Din AB = O₂ nu rezultă că A = O₂ sau B = O₂. Matricea B din exemplul 4 este nenulă, dar B² = O₂. Raționamentele de tipul „produsul e zero, deci un factor e zero” nu funcționează la matrice.
Ca să câștigi timp la Subiectul al II-lea, exersează calculul lui A² până îl faci fără ezitare: este primul pas în aproape orice cerință. Pentru o imagine de ansamblu asupra subiectului, vezi Structura subiectului la BAC Matematică.
Întrebări frecvente
Este înmulțirea matricelor comutativă?
Nu. În general AB ≠ BA. De aceea, formulele de calcul prescurtat, cum ar fi (A + B)² = A² + 2AB + B², sunt valabile doar pentru matrice care comută.
Cum calculez Aⁿ pentru o matrice de ordinul 2?
Calculezi A², A³, observi regula și o demonstrezi prin inducție. Alternativ, folosești relația A² − (tr A)·A + (det A)·I₂ = O₂ pentru a exprima puterile prin A și I₂.
La ce subiect apar matricele la BAC?
Matricele apar de regulă în prima problemă de la Subiectul al II-lea, la toate programele, adesea împreună cu determinanții sau cu sistemele de ecuații liniare.