Ce este o lege de compoziție
O lege de compoziție (internă) pe o mulțime nevidă M este o regulă care asociază oricărei perechi (x, y) de elemente din M un element, notat de obicei x ∘ y sau x ∗ y, care se află tot în M. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt cele mai cunoscute exemple, dar la BAC primești aproape întotdeauna o lege „inventată”, de forma:
Cerințele care urmează sunt mereu din aceeași familie: calculează un compus concret, verifică o proprietate (comutativitate, asociativitate), găsește elementul neutru, determină simetricul unui element sau rezolvă o ecuație în care apare legea. Odată ce stăpânești câteva tehnici, problema devine una dintre cele mai previzibile de pe foaia de examen.
Legile de compoziție apar la toate cele trei programe, de regulă la a doua problemă din Subiectul al II-lea (vezi structura subiectului). La M1 ele sunt doar punctul de plecare pentru grupuri, inele și corpuri; la M2 și M3 cerințele rămân, de obicei, la proprietățile legii și la ecuații.
Partea stabilă
Uneori legea este dată pe o submulțime, de exemplu pe (2, +∞). Spunem că o submulțime H ⊂ M este parte stabilă în raport cu legea dacă pentru orice x, y ∈ H rezultă x ∘ y ∈ H. Aceasta este prima verificare pe care trebuie s-o faci când legea nu este definită pe tot ℝ.
Proprietățile pe care le verifici
| Proprietate | Ce trebuie arătat |
|---|---|
| Comutativitate | x ∘ y = y ∘ x, pentru orice x, y ∈ M |
| Asociativitate | (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), pentru orice x, y, z ∈ M |
| Element neutru | există e ∈ M cu x ∘ e = e ∘ x = x, pentru orice x ∈ M |
| Element simetrizabil | pentru x dat, există x′ ∈ M cu x ∘ x′ = x′ ∘ x = e |
Comutativitatea se vede, de cele mai multe ori, imediat: dacă expresia este simetrică în x și y (schimbând x cu y obții aceeași expresie), legea este comutativă. Scrie totuși explicit egalitatea x ∘ y = y ∘ x pe foaie — baremul punctează justificarea, nu impresia.
Asociativitatea cere un calcul mai lung: dezvolți separat (x ∘ y) ∘ z și x ∘ (y ∘ z) și arăți că dau aceeași expresie. Aici forma factorizată (prezentată mai jos) îți scurtează munca la câteva rânduri.
Elementul neutru, dacă există, este unic. Îl cauți rezolvând ecuația x ∘ e = x „pentru orice x”, adică o identitate în x, nu o ecuație obișnuită.
Trucul factorizării: forma (x − a)(y − a) + a
Majoritatea legilor de la BAC care conțin produsul xy se pot rescrie într-o formă „ascunsă” mult mai comodă. Ideea este să grupezi termenii ca într-o descompunere în factori:
c·xy + p·x + p·y + q = c(x + p/c)(y + p/c) + q − p²/c
Pentru legea din introducere, k = −2 și m = 6:
Merită să verifici forma factorizată prin desfacerea parantezelor: (x − 2)(y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 + 2. Corect. De multe ori chiar cerința a) îți spune: „Arătați că x ∘ y = (x − 2)(y − 2) + 2”, iar restul problemei se bazează pe această formă.
Cu forma factorizată, asociativitatea devine aproape evidentă:
x ∘ (y ∘ z) = (x − 2)((y − 2)(z − 2) + 2 − 2) + 2 = (x − 2)(y − 2)(z − 2) + 2
Cele două expresii coincid, deci legea este asociativă. Tot de aici vine și formula pentru compusul repetat: x ∘ x ∘ x = (x − 2)³ + 2 și, în general, compusul a n elemente egale cu x este (x − 2)ⁿ + 2.
Sfat: Dacă legea are forma (x − a)(y − a) + a, atunci a este un element „absorbant”: a ∘ y = 0·(y − a) + a = a pentru orice y. Orice compus lung care îl conține pe a printre termeni este egal cu a. Este cheia cerințelor de tipul „Calculați 1 ∘ 2 ∘ 3 ∘ … ∘ 2026”.
Elementul neutru și elementele simetrizabile
Procedura este aceeași de fiecare dată:
- Scrii condiția
x ∘ e = xpentru orice x ∈ M. - Aduci totul într-o parte și dai factor comun pe
(x − a)sau pe x. - Ca egalitatea să aibă loc pentru orice x, paranteza care îl conține pe e trebuie să fie zero.
- Verifici că
e ∈ Mși, dacă legea nu e comutativă, că șie ∘ x = x.
Pentru simetric, rezolvi x ∘ x′ = e în necunoscuta x′, apoi verifici că x′ aparține mulțimii M. Elementele pentru care ecuația nu are soluție în M nu sunt simetrizabile.
Pe ℝ se definește legea x ∘ y = xy − 2x − 2y + 6.
a) Arătați că 2 ∘ x = 2, pentru orice x real.
Rezolvare: 2 ∘ x = 2x − 4 − 2x + 6 = 2.
b) Determinați elementul neutru.
Rezolvare: Legea este comutativă, deci e suficient x ∘ e = x: (x − 2)(e − 2) + 2 = x ⇔ (x − 2)(e − 2) = x − 2 ⇔ (x − 2)(e − 3) = 0, pentru orice x ∈ ℝ. Rezultă e = 3 ∈ ℝ.
c) Rezolvați ecuația x ∘ x = 11.
Rezolvare: (x − 2)² + 2 = 11 ⇔ (x − 2)² = 9 ⇔ x − 2 = ±3, deci x ∈ {−1, 5}.
Bonus: pentru x ≠ 2, simetricul este x′ = 2 + 1/(x − 2), deoarece (x − 2)·1/(x − 2) + 2 = 3 = e. Elementul 2 nu are simetric, pentru că 2 ∘ x′ = 2 ≠ 3 oricare ar fi x′.
Pe ℝ se definește x ∗ y = x + y − 4.
a) Asociativitatea: (x ∗ y) ∗ z = (x + y − 4) + z − 4 = x + y + z − 8 și x ∗ (y ∗ z) = x + (y + z − 4) − 4 = x + y + z − 8. Expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
b) Elementul neutru: x + e − 4 = x ⇔ e = 4. Simetricul lui x: x + x′ − 4 = 4 ⇔ x′ = 8 − x, care există pentru orice x real.
c) Rezolvați x ∗ x ∗ x = 7. Din a), x ∗ x ∗ x = 3x − 8, deci 3x − 8 = 7 și x = 5.
Pe ℝ se definește x ⊥ y = 2xy − 6x − 6y + 21.
a) Arătați că x ⊥ y = 2(x − 3)(y − 3) + 3.
Rezolvare: 2(xy − 3x − 3y + 9) + 3 = 2xy − 6x − 6y + 18 + 3, adică exact legea dată.
b) Arătați că intervalul H = (3, +∞) este parte stabilă.
Rezolvare: Dacă x, y > 3, atunci x − 3 > 0 și y − 3 > 0, deci 2(x − 3)(y − 3) > 0 și x ⊥ y > 3, adică x ⊥ y ∈ H.
c) Determinați elementul neutru.
Rezolvare: 2(x − 3)(e − 3) + 3 = x ⇔ (x − 3)(2(e − 3) − 1) = 0 pentru orice x, deci 2e − 7 = 0 și e = 7/2. Observă că 7/2 ∈ H, așa că neutrul este bun și pentru legea restrânsă la H.
Greșeli frecvente
Atenție:
- Neutrul „ghicit” fără demonstrație. Să scrii „e = 3 pentru că 3 ∘ x = x” la un singur x concret nu e suficient: egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice x.
- Uiți să verifici apartenența. Dacă legea e definită pe
(2, +∞)și găseștie = 1, atunci legea nu are element neutru în acea mulțime. - Simetricul calculat doar pe o parte la o lege necomutativă. Dacă nu ai arătat comutativitatea, verifică și
x′ ∘ x = e. - Împărțirea la (x − 2) fără condiție. Când obții
x′ = 2 + 1/(x − 2), menționează căx ≠ 2și discută separat cazul exclus. - Asociativitate „demonstrată” pe numere. Un exemplu numeric poate arăta că o lege nu e asociativă, dar nu poate dovedi că este.
Strategie pentru cerința c)
Punctul c) combină, de obicei, legea cu alt capitol: o ecuație de gradul al II-lea (vezi funcția de gradul al II-lea), o ecuație exponențială de tipul 2ˣ ∘ 2ˣ = … sau un compus lung de forma 1 ∘ 2 ∘ … ∘ n. Câteva reflexe utile:
- Treci imediat la forma factorizată: orice compus devine un produs de paranteze.
- Caută elementul absorbant în șirul de numere; dacă apare, rezultatul este chiar el.
- La ecuații cu exponențiale, notează
t = 2ˣși rezolvă întâi în t, ținând cont căt > 0. - Dacă se cere „numărul de elemente simetrizabile din ℤ”, impune ca
x′să fie întreg: de exemplu2 + 1/(x − 2) ∈ ℤdoar pentrux − 2 ∈ {−1, 1}, adicăx ∈ {1, 3}.
Legile de compoziție pot fi definite și pe mulțimi de matrice; în acest caz ai nevoie de operațiile cu matrice, dar logica verificărilor rămâne aceeași. Formulele esențiale din acest capitol le găsești strânse și în fișa de formule M1.
Întrebări frecvente
Cum găsesc rapid elementul neutru al unei legi de compoziție?
Scrie condiția x ∘ e = x pentru orice x, adu totul într-un membru și dă factor comun. Paranteza care îl conține pe e trebuie să fie nulă, iar din ea afli e. La final verifică dacă e aparține mulțimii pe care e definită legea.
Trebuie să demonstrez comutativitatea înainte de elementul neutru?
Nu e obligatoriu, dar te ajută: dacă legea este comutativă, verifici doar x ∘ e = x. Fără comutativitate trebuie verificate ambele egalități, x ∘ e = x și e ∘ x = x.
Ce înseamnă că un element nu este simetrizabil?
Înseamnă că ecuația x ∘ x′ = e nu are soluție în mulțimea dată. De exemplu, pentru legea x ∘ y = (x − 2)(y − 2) + 2, elementul 2 nu este simetrizabil, deoarece 2 ∘ x′ = 2 pentru orice x′, iar neutrul este 3.