Cum folosești fișa
Fișa este gândită pentru recapitulare, nu pentru învățarea de la zero. Dacă un capitol îți este străin, citește întâi articolul dedicat, apoi revino aici. Câteva sugestii:
- parcurge câte un tabel pe zi, acoperă-l și scrie formulele din memorie;
- marchează formulele pe care le-ai greșit și reia-le peste două-trei zile;
- în ultima săptămână înainte de examen, folosește fișa ca listă de verificare, după modelul din Recapitularea din ultima săptămână.
Dacă dai examenul pe programa de științele naturii, fișa potrivită pentru tine este Formule BAC Matematică M2.
Puteri, radicali, logaritmi, progresii
| Noțiune | Formulă |
|---|---|
| Puteri | aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, am/n = ⁿ√(aᵐ) |
| Radicali | √(a²) = |a|, √a·√b = √(ab) pentru a, b ≥ 0 |
| Logaritm — definiție | loga x = y ⇔ aʸ = x, cu a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
| Logaritmi — proprietăți | loga(xy) = loga x + loga y, loga(x/y) = loga x − loga y, loga xⁿ = n·loga x |
| Schimbarea bazei | loga x = logb x / logb a, aloga x = x |
| Partea întreagă | [x] ≤ x < [x] + 1, {x} = x − [x] ∈ [0, 1) |
| Progresie aritmetică | aₙ = a₁ + (n − 1)r, Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2, 2b = a + c pentru termeni consecutivi |
| Progresie geometrică | bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) pentru q ≠ 1, b² = a·c pentru termeni consecutivi |
Detalii și exerciții: Logaritmi și Progresii aritmetice.
Funcția de gradul al II-lea și relațiile lui Viète
V(−b/(2a), −Δ/(4a)) S = x₁ + x₂ = −b/a P = x₁x₂ = c/a
x₁² + x₂² = S² − 2P ecuația cu rădăcinile x₁, x₂: x² − Sx + P = 0
Semnul: f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar între ele; dacă Δ < 0, f are peste tot semnul lui a. Pentru gradul al III-lea, ax³ + bx² + cx + d = 0:
Numere complexe
| Noțiune | Formulă |
|---|---|
| Forma algebrică | z = a + bi, Re z = a, Im z = b, i² = −1 |
| Puterile lui i | i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i |
| Conjugat și modul | z̄ = a − bi, |z| = √(a² + b²), z·z̄ = |z|² |
| Proprietăți | |z₁z₂| = |z₁|·|z₂|, z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ |
| Ecuația de gradul II cu Δ < 0 | x₁,₂ = (−b ± i√(−Δ))/(2a) |
| Rădăcinile cubice ale unității | dacă ε² + ε + 1 = 0, atunci ε³ = 1 |
Dacă ε² + ε + 1 = 0, calculați ε¹⁰.
Rezolvare: înmulțind relația cu ε − 1 obținem ε³ − 1 = 0, deci ε³ = 1. Cum 10 = 3·3 + 1, ε¹⁰ = (ε³)³·ε = ε.
Teoria completă: Numere complexe.
Combinatorică, binomul lui Newton, probabilități
| Noțiune | Formulă |
|---|---|
| Permutări | Pₙ = n! |
| Aranjamente | Aₙᵏ = n!/(n − k)! |
| Combinări | Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!), Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, Cₙᵏ + Cₙᵏ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵏ⁺¹ |
| Submulțimi | o mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi |
| Numărul de funcții | f : A → B, cu |A| = m, |B| = n: nᵐ funcții |
| Termenul general | Tₖ₊₁ = Cₙᵏ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ în dezvoltarea (a + b)ⁿ |
| Suma coeficienților binomiali | Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ |
| Probabilitate | P = cazuri favorabile / cazuri posibile |
Determinați termenul care nu îl conține pe x din dezvoltarea (x + 2/x)⁶.
Rezolvare: Tₖ₊₁ = C₆ᵏ·x⁶⁻ᵏ·(2/x)ᵏ = C₆ᵏ·2ᵏ·x⁶⁻²ᵏ. Exponentul lui x este 0 pentru k = 3, deci T₄ = C₆³·2³ = 20·8 = 160.
Geometrie analitică și vectori
| Noțiune | Formulă |
|---|---|
| Distanța și mijlocul | AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²), M((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) |
| Centrul de greutate | G((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3) |
| Panta | mAB = (yB − yA)/(xB − xA); pentru ax + by + c = 0, m = −a/b |
| Ecuația dreptei | y − y₀ = m(x − x₀) |
| Paralelism, perpendicularitate | m₁ = m₂, respectiv m₁·m₂ = −1 |
| Distanța punct–dreaptă | d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) |
| Aria triunghiului | S = |Δ|/2, unde Δ este determinantul cu liniile (xA, yA, 1), (xB, yB, 1), (xC, yC, 1); A, B, C coliniare ⇔ Δ = 0 |
| Vectori | |v| = √(x² + y²), u·v = x₁x₂ + y₁y₂ = |u|·|v|·cos θ |
| Coliniaritate, perpendicularitate | x₁y₂ − x₂y₁ = 0, respectiv x₁x₂ + y₁y₂ = 0 |
Vezi și Ecuația dreptei.
Trigonometrie
| x | 0 | π/6 (30°) | π/4 (45°) | π/3 (60°) | π/2 (90°) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tg x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | nu există |
sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b
cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b
sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
În triunghi:
S = (1/2)·b·c·sin A S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) R = abc/(4S) r = S/p
Aplicații: Formule trigonometrice.
Matrice, determinanți, sisteme
| Noțiune | Formulă |
|---|---|
| Determinant de ordin 2 | det(a b; c d) = ad − bc |
| Determinant de ordin 3 | regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie |
| Proprietăți | det(AB) = det A·det B, det(ᵗA) = det A, det(kA) = kⁿ·det A |
| Cayley–Hamilton (ordin 2) | A² − (tr A)·A + (det A)·I₂ = O₂ |
| Matricea inversă | A inversabilă ⇔ det A ≠ 0; A⁻¹ = (1/det A)·A* |
| Regula lui Cramer | x = Δₓ/Δ, y = Δᵧ/Δ, z = Δz/Δ, dacă Δ ≠ 0 |
| Compatibilitate | sistem compatibil ⇔ rang A = rang Ā |
| Sistem omogen | are și soluții nenule ⇔ det A = 0 (sistem pătratic) |
Pentru A = (1 2; 3 4), verificați relația Cayley–Hamilton.
Rezolvare: tr A = 5, det A = −2, deci relația este A² − 5A − 2I₂ = O₂. Într-adevăr, A² = (7 10; 15 22), iar 5A + 2I₂ = (7 10; 15 22).
Detalii: Determinanți.
Structuri algebrice și polinoame
- Grup
(G, ∘): lege asociativă, element neutrue(x ∘ e = e ∘ x = x), orice element are simetricx′(x ∘ x′ = x′ ∘ x = e). - Morfism de grupuri:
f(x ∘ y) = f(x) * f(y); izomorfism = morfism bijectiv. - ℤₙ:
âeste inversabil în(ℤₙ, ·)⇔(a, n) = 1;ℤₙeste corp ⇔ n este prim. - Teorema împărțirii cu rest:
f = g·q + r, cugrad r < grad g. - Teorema lui Bézout: restul împărțirii lui f la
X − aestef(a);(X − a) | f ⇔ f(a) = 0. - Rădăcini complexe: dacă f are coeficienți reali și
a + bieste rădăcină, atunci șia − bieste rădăcină. - Sume de pătrate:
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃).
Vezi Polinoame.
Limite și derivate
Limite remarcabile, cu u(x) → 0, u(x) ≠ 0:
(aᵘ − 1)/u → ln a (1 + u)1/u → e ((1 + u)ʳ − 1)/u → r
| Funcția | Derivata | Funcția | Derivata |
|---|---|---|---|
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | sin x | cos x |
√x | 1/(2√x) | cos x | −sin x |
eˣ | eˣ | tg x | 1/cos²x |
aˣ | aˣ·ln a | ctg x | −1/sin²x |
ln x | 1/x | arctg x | 1/(1 + x²) |
loga x | 1/(x·ln a) | arcsin x | 1/√(1 − x²) |
- Tangenta în
x₀:y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀). - Monotonie:
f′ > 0pe un interval ⇒ f strict crescătoare;f′ < 0⇒ f strict descrescătoare. - Convexitate:
f″ ≥ 0⇒ f convexă;f″ ≤ 0⇒ f concavă. - Asimptota oblică
y = mx + n:m = lim f(x)/x,n = lim (f(x) − mx), cu m finit nenul și n finit. - Regula lui l'Hospital: pentru cazurile
0/0și∞/∞,lim f/g = lim f′/g′, dacă ultima există. - Teorema lui Lagrange: există
c ∈ (a, b)cuf(b) − f(a) = f′(c)(b − a). - Șiruri: orice șir monoton și mărginit este convergent;
qⁿ → 0pentru|q| < 1.
Primitive și integrale
| Funcția | O primitivă (se adaugă C) |
|---|---|
xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) |
1/x | ln|x| |
eˣ; aˣ | eˣ; aˣ/ln a |
sin x; cos x | −cos x; sin x |
1/cos²x; 1/sin²x | tg x; −ctg x |
tg x; ctg x | −ln|cos x|; ln|sin x| |
1/(x² + a²) | (1/a)·arctg(x/a) |
1/(x² − a²) | (1/(2a))·ln|(x − a)/(x + a)| |
1/√(x² + a²) | ln(x + √(x² + a²)) |
1/√(a² − x²) | arcsin(x/a) |
∫ f·g′ dx = f·g − ∫ f′·g dx (integrare prin părți)
∫ f(u(x))·u′(x) dx = F(u(x)) + C (schimbare de variabilă)
Aria: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx Volumul corpului de rotație: V = π∫ₐᵇ f²(x) dx
Pentru f impară, ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0; pentru f pară, ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx. Exerciții: Integrala definită.
Întrebări frecvente
Primesc formulele la examenul de BAC Matematică?
Nu. La proba de Matematică nu primești o fișă de formule, așa că toate formulele trebuie știute pe de rost. De aceea merită să le recapitulezi activ, scriindu-le din memorie.
Ce formule sunt specifice programei M1?
Față de celelalte programe, la M1 apar în plus formulele pentru numere complexe, binomul lui Newton, structuri algebrice (grupuri, inele, corpuri) și polinoame, plus câteva rezultate mai avansate de analiză, cum ar fi limitele de șiruri.
Cum învăț cel mai repede formulele pentru BAC?
Învață-le prin folosire, nu prin citire. După ce parcurgi un tabel, acoperă-l și scrie formulele din memorie, apoi rezolvă câteva exerciții care le folosesc. Formulele pe care le greșești de două ori merită trecute pe o listă separată.