Factorialul, punctul de plecare
Pentru un număr natural n ≥ 1, factorialul lui n este produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Prin convenție, 0! = 1.
(n + 1)! = (n + 1) · n!
Relația (n + 1)! = (n + 1) · n! este cea pe care o folosești pentru a simplifica fracții cu factoriali. De exemplu, 10! / 8! = 10 · 9 = 90, fără să calculezi vreun factorial mare.
Capitolul „Metode de numărare” este din clasa a X-a și apare la toate programele (M1, M2, M3), aproape întotdeauna la Subiectul I. Tot aici se sprijină și probabilitățile și binomul lui Newton.
Cele trei formule
Fie o mulțime cu n elemente și 0 ≤ k ≤ n.
Aranjamente: Aₙᵏ = n! / (n − k)! = n(n − 1)(n − 2)…(n − k + 1) (k factori)
Combinări: Cₙᵏ = n! / [k! (n − k)!] = Aₙᵏ / k!
- Pₙ numără modurile în care pot fi ordonate toate cele
nelemente. - Aₙᵏ numără submulțimile ordonate cu
kelemente (alegikelemente și contează ordinea lor). - Cₙᵏ numără submulțimile cu
kelemente (alegikelemente, ordinea nu contează).
Relația Aₙᵏ = Cₙᵏ · k! are o interpretare simplă: ca să formezi un grup ordonat, întâi alegi elementele (Cₙᵏ moduri), apoi le ordonezi (k! moduri).
Cum alegi formula potrivită
Pune-ți două întrebări, în ordinea aceasta:
- Folosesc toate elementele sau doar o parte? Dacă le folosești pe toate și doar le aranjezi, sunt permutări.
- Dacă aleg doar o parte, contează ordinea? Dacă schimbarea ordinii dă un rezultat diferit, sunt aranjamente; dacă nu, sunt combinări.
| Situație | Contează ordinea? | Formula |
|---|---|---|
| Așezarea a 5 cărți pe un raft | Da, toate elementele | P₅ = 120 |
| Alegerea unui președinte, a unui vicepreședinte și a unui secretar din 10 elevi | Da (funcții diferite) | A₁₀³ = 720 |
| Alegerea unei echipe de 3 elevi din 10 | Nu | C₁₀³ = 120 |
| Numere de 3 cifre distincte formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5 | Da (123 ≠ 321) | A₅³ = 60 |
| Submulțimi cu 2 elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} | Nu ({1, 2} = {2, 1}) | C₅² = 10 |
Sfat: Testul cel mai rapid: ia o alegere concretă, schimbă ordinea a două elemente și întreabă-te dacă ai obținut altceva. „Ana președinte, Bogdan vicepreședinte” diferă de invers, deci aranjamente. „Echipa Ana–Bogdan” este aceeași cu „Bogdan–Ana”, deci combinări.
Proprietățile combinărilor
Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1, Cₙ¹ = n, Cₙ² = n(n − 1) / 2
Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ + Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ (formula de recurență, triunghiul lui Pascal)
Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ (numărul tuturor submulțimilor)
Formula complementară economisește timp: C₂₀¹⁸ = C₂₀² = 190. Ultima formulă spune că o mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși. Ea apare și în contextul binomului lui Newton, ca sumă a coeficienților binomiali.
Ecuații cu Pₙ, Aₙᵏ și Cₙᵏ
Calculați C₅² + A₄² − P₃.
Rezolvare: C₅² = 5 · 4 / 2 = 10, A₄² = 4 · 3 = 12, P₃ = 3! = 6. Rezultatul este 10 + 12 − 6 = 16.
Determinați numărul natural n ≥ 2 pentru care Cₙ² = 15.
Rezolvare: Cₙ² = n(n − 1) / 2 = 15, deci n² − n − 30 = 0. Soluțiile ecuației sunt n = 6 și n = −5. Cum n este natural și n ≥ 2, rămâne n = 6.
La astfel de ecuații, condiția de existență este parte din rezolvare: în Aₙᵏ și Cₙᵏ trebuie ca n, k ∈ ℕ și k ≤ n. Scrie-o la început, la fel cum ai scrie domeniul la o ecuație irațională. De exemplu, la Aₙ² = 20 condiția este n ≥ 2, iar ecuația n(n − 1) = 20 dă n = 5 (soluția n = −4 nu convine).
Probleme de numărare rezolvate
Câte numere naturale de trei cifre au toate cifrele distincte?
Rezolvare: Folosim regula produsului. Cifra sutelor nu poate fi 0, deci are 9 variante. Cifra zecilor poate fi orice cifră diferită de cea a sutelor: 9 variante (inclusiv 0). Cifra unităților: 8 variante. Total: 9 · 9 · 8 = 648.
Observă că aici nu se aplică direct A₁₀³ = 720, pentru că acesta ar număra și „numerele” care încep cu 0. Diferența, 720 − 648 = 72, este exact A₉² = 72, numărul de șiruri care încep cu 0.
Câte diagonale are un octogon convex?
Rezolvare: Orice două vârfuri determină un segment, iar ordinea vârfurilor nu contează: C₈² = 28 de segmente. Dintre ele, 8 sunt laturi. Rămân 28 − 8 = 20 de diagonale. În general, un poligon convex cu n laturi are Cₙ² − n = n(n − 3)/2 diagonale.
Dintr-o clasă cu 5 fete și 4 băieți se formează o echipă de 3 elevi, cu 2 fete și un băiat. În câte moduri?
Rezolvare: Alegem fetele în C₅² = 10 moduri și băiatul în C₄¹ = 4 moduri. Alegerile sunt independente, deci se înmulțesc: 10 · 4 = 40 de echipe.
În câte moduri se pot așeza 5 elevi pe cinci scaune aflate în linie, dacă Ana și Bogdan trebuie să stea unul lângă altul?
Rezolvare: Lipim cei doi elevi într-un „bloc”. Avem acum 4 obiecte de ordonat (blocul și ceilalți 3 elevi), deci P₄ = 24 de moduri. În interiorul blocului, Ana și Bogdan își pot schimba locurile: P₂ = 2 moduri. Total: 24 · 2 = 48.
Prin complementare, numărul așezărilor în care cei doi nu stau alături este P₅ − 48 = 120 − 48 = 72.
Trucul „blocului” funcționează ori de câte ori niște elemente trebuie să rămână împreună, iar numărarea complementului te scapă de cazurile cu „nu”. Ambele idei revin și în exercițiile de probabilitate.
Un alt rezultat util la Subiectul I: dacă A are m elemente și B are n elemente, numărul funcțiilor f : A → B este nᵐ, iar numărul funcțiilor injective (pentru m ≤ n) este Aₙᵐ. Legătura cu noțiunea de injectivitate este explicată în Funcții injective, surjective și bijective.
Greșeli frecvente
Atenție: Cea mai frecventă greșeală este folosirea aranjamentelor acolo unde ordinea nu contează. Dacă la „echipa de 3 din 10” răspunzi 720 în loc de 120, ai numărat fiecare echipă de 3! = 6 ori.
- Adunarea în loc de înmulțire: când faci alegeri succesive și independente („și”), numărul de variante se înmulțește; când ai cazuri disjuncte („sau”), se adună.
- Uitarea faptului că un număr nu poate începe cu cifra 0.
- Neglijarea condițiilor
k ≤ n,n ∈ ℕla ecuații, și păstrarea unor soluții negative. - Confuzia
0! = 0. Corect:0! = 1, motiv pentru careCₙ⁰ = 1.
Combinatorica este și baza exercițiilor de probabilitate, unde numeri cazurile favorabile și pe cele posibile. Continuă cu Probabilități la BAC Matematică.
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre aranjamente și combinări?
La aranjamente contează ordinea elementelor alese, la combinări nu. Legătura dintre ele este Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!.
Cât este 0 factorial?
Prin convenție, 0! = 1. De aceea Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1 pentru orice n natural.
Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente?
O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși. Numărul submulțimilor cu k elemente este Cₙᵏ.