Definiția logaritmului
Logaritmul răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin un anumit număr?”. Formal, pentru a > 0, a ≠ 1 și b > 0:
De exemplu, log₂ 8 = 3 pentru că 2³ = 8, iar log₃ (1/9) = −2 pentru că 3⁻² = 1/9. Două notații speciale: lg x = log₁₀ x (logaritmul zecimal) și ln x = logₑ x (logaritmul natural, cu baza e ≈ 2,718), pe care îl vei folosi intens la derivate și primitive.
Logaritmii fac parte din materia clasei a X-a și apar la toate programele (M1, M2, M3), cel mai des la Subiectul I: fie un calcul de tipul „Arătați că…”, fie o ecuație logaritmică. Logaritmul este operația inversă ridicării la putere, de aceea capitolul merge mână în mână cu ecuațiile exponențiale.
Proprietățile logaritmilor
Pentru a > 0, a ≠ 1, x, y > 0 și n ∈ ℝ:
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y
logₐ xⁿ = n · logₐ x
logₐ x = logb x / logb a (schimbarea bazei, b > 0, b ≠ 1)
logₐ b · logb a = 1
Ultima formulă este un caz particular al schimbării bazei și apare surprinzător de des în exerciții de tip „Arătați că…”. Tot din schimbarea bazei rezultă și „regula lanțului”: logₐ b · logb c = logₐ c.
Sfat: Când vezi într-un exercițiu de calcul o sumă sau o diferență de logaritmi în aceeași bază, primul reflex este să o transformi într-un singur logaritm dintr-un produs sau un cât. De cele mai multe ori, argumentul obținut este o putere exactă a bazei.
Calcule cu logaritmi
Arătați că log₃ 54 − log₃ 2 = 3.
Rezolvare: Folosim proprietatea câtului: log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ (54 / 2) = log₃ 27 = log₃ 3³ = 3.
Arătați că log₂ 3 · log₃ 8 = 3.
Rezolvare: Scriem log₃ 8 = log₂ 8 / log₂ 3. Atunci produsul devine log₂ 3 · log₂ 8 / log₂ 3 = log₂ 8 = 3.
Alternativ, cu regula lanțului: log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8 = 3.
Un alt tip frecvent este cel în care trebuie să scoți un exponent în fața logaritmului: 2 log₃ 6 − log₃ 4 = log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ 9 = 2. Observă că întâi „bagi” coeficientul 2 ca exponent, apoi aplici regula câtului.
Condițiile de existență
Aceasta este partea care face diferența între o rezolvare punctată integral și una depunctată. Expresia logₐ f(x) are sens doar dacă:
a(x) > 0 și a(x) ≠ 1 (dacă baza depinde de x)
Condițiile se scriu înainte de rezolvare, iar mulțimea obținută (domeniul de existență, notat de obicei D) se folosește la final pentru a filtra soluțiile. Un truc des folosit: dacă, după rezolvare, argumentul devine o constantă pozitivă pentru soluția găsită, verificarea este imediată.
Atenție: Proprietatea logₐ (x·y) = logₐ x + logₐ y cere ca ambii factori să fie pozitivi. Dacă transformi log₂ x + log₂ (x − 2) în log₂ [x(x − 2)] fără să fi scris condițiile x > 0 și x − 2 > 0, poți obține soluții false.
Ecuații logaritmice: trei tipuri
Tipul 1: logₐ f(x) = c
Se aplică direct definiția: f(x) = aᶜ.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂ (x² − 5x + 10) = 2.
Rezolvare: Condiția de existență este x² − 5x + 10 > 0. Discriminantul trinomului este Δ = 25 − 40 = −15 < 0, iar coeficientul lui x² este pozitiv, deci condiția este îndeplinită pentru orice x ∈ ℝ.
Din definiție: x² − 5x + 10 = 2² = 4, adică x² − 5x + 6 = 0, cu soluțiile x₁ = 2, x₂ = 3. Ambele convin, deci S = {2, 3}.
Semnul trinomului de gradul al II-lea (folosit aici pentru condiția de existență) este explicat pe larg în Funcția de gradul al II-lea.
Tipul 2: sume de logaritmi în aceeași bază
Scrii condițiile, aduni logaritmii într-unul singur și revii la tipul 1.
Rezolvați în ℝ ecuația log₂ x + log₂ (x − 2) = 3.
Rezolvare: Condiții: x > 0 și x − 2 > 0, deci D = (2, +∞).
Pe D, ecuația se scrie log₂ [x(x − 2)] = 3, deci x(x − 2) = 8, adică x² − 2x − 8 = 0. Soluțiile sunt x₁ = 4 și x₂ = −2.
Cum −2 ∉ D, singura soluție este x = 4. Verificare: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. ✓
Tipul 3: substituția t = logₐ x
Când logaritmul apare la puteri diferite (de exemplu lg² x și lg x), îl notezi cu t. Spre deosebire de substituția din ecuațiile exponențiale, aici t poate fi orice număr real.
Rezolvați ecuația lg² x − 3 lg x + 2 = 0.
Rezolvare: Condiție: x > 0. Notăm t = lg x: t² − 3t + 2 = 0, cu t₁ = 1, t₂ = 2.
Din lg x = 1 rezultă x = 10, iar din lg x = 2 rezultă x = 100. Ambele sunt pozitive, deci S = {10, 100}.
Dacă baza depinde de x, de exemplu logₓ 9 = 2, condițiile sunt x > 0 și x ≠ 1. Din definiție, x² = 9, deci x = ±3, dar numai x = 3 respectă condițiile.
Inecuații logaritmice
Ca la puteri, monotonia depinde de bază: logₐ este strict crescătoare pentru a > 1 și strict descrescătoare pentru 0 < a < 1.
Rezolvați inecuația log1/2 (x − 1) > −2.
Rezolvare: Condiție: x > 1. Scriem −2 = log1/2 4, pentru că (1/2)⁻² = 4. Baza fiind subunitară, semnul se schimbă: x − 1 < 4, adică x < 5.
Intersectând cu condiția de existență, obținem x ∈ (1, 5).
Greșeli frecvente
log(x + y) = log x + log y— fals. Logaritmul unei sume nu se desface.log x / log y = log(x / y)— fals. Câtul de logaritmi este, prin schimbarea bazei,logy x.(log x)² = 2 log x— fals. Doarlog x²este egal cu2 log x(pentrux > 0).- Ignorarea condițiilor de existență și păstrarea unor soluții care fac argumentul negativ.
Atenție: log₂ x² = 2 log₂ x este adevărat doar pentru x > 0. Pentru x ≠ 0 oarecare, corect este log₂ x² = 2 log₂ |x|. Dacă simplifici prea devreme, pierzi soluțiile negative.
Pentru o listă mai largă de capcane, din toate capitolele, citește 15 greșeli frecvente la BAC Matematică, iar dacă vrei toate formulele într-un singur loc, vezi fișa de formule pentru M1 sau pentru M2.
Întrebări frecvente
Care sunt condițiile de existență ale unui logaritm?
Pentru logₐ b trebuie ca baza să fie strict pozitivă și diferită de 1, iar argumentul să fie strict pozitiv: a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Cât este logaritmul lui 1?
În orice bază admisă, logₐ 1 = 0, pentru că a⁰ = 1.
Este obligatoriu să scriu condițiile de existență la o ecuație logaritmică?
Da. Condițiile se scriu înainte de rezolvare și se folosesc la final pentru a elimina soluțiile care nu convin. Fără ele, poți păstra soluții false și pierzi puncte.