Ce este derivata
Derivata unei funcții f într-un punct a măsoară cât de repede se schimbă valorile funcției în jurul lui a. Formal, este limita raportului incremental:
Dacă limita există și este finită, spunem că f este derivabilă în a. Geometric, f′(a) este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă a — de aici vine ecuația tangentei. Orice funcție derivabilă într-un punct este și continuă acolo, dar reciproca nu e adevărată (exemplul clasic: |x| în 0).
Derivatele sunt în programa de clasa a XI-a la toate cele trei programe și formează coloana vertebrală a primei probleme de la Subiectul al III-lea. Cerința a) de acolo este, de foarte multe ori, „Arătați că f′(x) = …” — 5 puncte pe care le iei doar dacă știi tabelul și regulile de mai jos fără ezitare.
Tabelul derivatelor funcțiilor elementare
În coloana a doua ai derivata funcției elementare, iar în a treia varianta pentru funcția compusă, unde u = u(x) este o funcție derivabilă. A treia coloană este cea pe care o folosești cel mai des.
| Funcția | Derivata | Funcția compusă |
|---|---|---|
c (constantă) | 0 | — |
x | 1 | — |
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′ |
xr, r ∈ ℝ, x > 0 | r·xr−1 | (ur)′ = r·ur−1·u′ |
√x | 1/(2√x), x > 0 | (√u)′ = u′/(2√u) |
1/x | −1/x² | (1/u)′ = −u′/u² |
eˣ | eˣ | (eᵘ)′ = eᵘ·u′ |
aˣ | aˣ·ln a | (aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′ |
ln x | 1/x, x > 0 | (ln u)′ = u′/u |
loga x | 1/(x·ln a) | u′/(u·ln a) |
sin x | cos x | (sin u)′ = cos u·u′ |
cos x | −sin x | (cos u)′ = −sin u·u′ |
tg x | 1/cos² x | u′/cos² u |
ctg x | −1/sin² x | −u′/sin² u |
arcsin x | 1/√(1 − x²) | u′/√(1 − u²) |
arccos x | −1/√(1 − x²) | −u′/√(1 − u²) |
arctg x | 1/(1 + x²) | u′/(1 + u²) |
arcctg x | −1/(1 + x²) | −u′/(1 + u²) |
Funcțiile trigonometrice inverse apar mai ales la M1; verifică în programa ta dacă trebuie să le știi. Restul tabelului este comun tuturor programelor.
Regulile de derivare
(c·f)′ = c·f′
(f·g)′ = f′·g + f·g′
(f / g)′ = (f′·g − f·g′) / g², g ≠ 0
(f ∘ u)′(x) = f′(u(x))·u′(x)
Ultima regulă — derivata funcției compuse — este cea care generează coloana a treia din tabel. Ea se aplică „din exterior spre interior”: derivezi funcția exterioară, păstrând argumentul neschimbat, apoi înmulțești cu derivata argumentului.
Sfat: Înainte să aplici regula câtului, uită-te dacă nu poți simplifica sau rescrie. De exemplu, (x² + 3x)/x = x + 3 pentru x ≠ 0, iar derivata e 1, fără niciun cât. Sau 1/x³ = x⁻³, cu derivata −3x⁻⁴.
Exemple rezolvate
a) f(x) = x² ln x, x > 0.f′(x) = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1).
b) g(x) = (x² + 1)/(x − 1), x ≠ 1.g′(x) = (2x(x − 1) − (x² + 1)·1)/(x − 1)² = (2x² − 2x − x² − 1)/(x − 1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)².
a) f(x) = ex² − 3x. Cu u = x² − 3x: f′(x) = (2x − 3)·ex² − 3x.
b) f(x) = √(x² + 4). f′(x) = 2x/(2√(x² + 4)) = x/√(x² + 4).
c) f(x) = ln(x² + 1). f′(x) = 2x/(x² + 1).
Se consideră f : (−1, +∞) → ℝ, f(x) = x − ln(x + 1). Arătați că f′(x) = x/(x + 1).
Rezolvare: f′(x) = 1 − 1/(x + 1) = (x + 1 − 1)/(x + 1) = x/(x + 1).
Derivata a doua este derivata derivatei: f″(x) = ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². Ea apare la studiul convexității.
Din f′(x) = x/(x + 1) se citește imediat semnul: negativ pe (−1, 0), pozitiv pe (0, +∞). Asta e baza cerinței b) despre monotonie și extreme.
Pentru f(x) = ln(x² + 1) am găsit f′(x) = 2x/(x² + 1). Atunci:
f″(x) = (2(x² + 1) − 2x·2x)/(x² + 1)² = (2 − 2x²)/(x² + 1)² = 2(1 − x)(1 + x)/(x² + 1)².
f(x) = sin²(3x) are trei „straturi”: pătratul, sinusul și funcția 3x. Le derivezi din exterior spre interior:
f′(x) = 2 sin(3x) · cos(3x) · 3 = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, unde la final am folosit 2 sin a cos a = sin 2a.
Similar, (e−x sin x)′ = −e−x sin x + e−x cos x = e−x(cos x − sin x) — aici ai combinat regula produsului cu cea a funcției compuse.
Limitele care sunt, de fapt, derivate
O cerință care apare des sub forma „Calculați limx→1 (f(x) − f(1))/(x − 1)” nu îți cere de fapt o limită nouă: după definiție, rezultatul este f′(1). Calculezi derivata cu regulile obișnuite și o evaluezi în punct.
Pentru f(x) = x² ln x, calculați limx→1 (f(x) − f(1))/(x − 1).
Rezolvare: limita este f′(1). Din Exemplul 1, f′(x) = x(2 ln x + 1), deci f′(1) = 1·(0 + 1) = 1.
Analog, pentru g(x) = ex² − 3x, limx→0 (g(x) − g(0))/x = g′(0) = (0 − 3)·e⁰ = −3.
Sfat: Recunoașterea acestei forme îți economisește timp: fără ea, ai ajunge la o nedeterminare 0/0 pe care ar trebui s-o rezolvi cu l'Hospital — adică tot cu derivata, dar cu mai mulți pași.
Derivabilitatea într-un punct de legătură
La funcțiile cu acoladă, regulile de mai sus funcționează pe fiecare ramură, dar în punctul de legătură trebuie să lucrezi cu definiția (sau cu derivatele laterale). Condiția:
Fie f(x) = x² pentru x ≤ 1 și f(x) = 2x − 1 pentru x > 1. Este f derivabilă în 1?
Continuitate: f(1) = 1, ld(1) = 2 − 1 = 1, deci f este continuă în 1.
Derivate laterale: la stânga, (x²)′ = 2x → 2; la dreapta, (2x − 1)′ = 2. Sunt egale, deci f′(1) = 2 și f este derivabilă în 1.
Contraexemplu: f(x) = |x| are în 0 derivata la stânga −1 și la dreapta 1. Graficul are acolo un „colț” — un punct unghiular.
Greșeli frecvente
- „(f·g)′ = f′·g′”. Derivata produsului are doi termeni:
f′g + fg′. - Uiți derivata argumentului.
(e3x)′ = 3e3x, nue3x;(sin 2x)′ = 2 cos 2x. - Ordinea de la cât. La numărător este
f′g − fg′; inversarea termenilor schimbă semnul întregului rezultat. - Constantele tratate ca variabile.
(e²)′ = 0și(ln 3)′ = 0. - Simplificarea neterminată. Când enunțul cere „Arătați că
f′(x) = …”, ajungi exact la forma din enunț, cu toți pașii intermediari scriși.
Ca să fixezi tabelul, rescrie-l din memorie de câteva ori pe săptămână și verifică-l cu cel de aici. Pentru recapitularea tuturor formulelor de analiză, folosește fișa M1 sau fișa M2. Tabelul de derivate citit „invers” îți dă și tabelul de primitive.
Întrebări frecvente
Care este derivata lui ln(x² + 1)?
Folosești regula (ln u)′ = u′/u, cu u = x² + 1. Derivata este 2x/(x² + 1).
Cum derivez o funcție compusă?
Derivezi funcția exterioară păstrând argumentul neschimbat, apoi înmulțești cu derivata argumentului. De exemplu, (sin 3x)′ = cos 3x · 3 = 3 cos 3x.
Orice funcție continuă este derivabilă?
Nu. Funcția |x| este continuă în 0, dar derivata la stânga este −1 și cea la dreapta este 1, deci nu este derivabilă în 0. În schimb, orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.