Formele ecuației dreptei
O dreaptă din plan este determinată fie de două puncte, fie de un punct și o direcție (pantă). De aici vin formele pe care le folosești la examen:
Forma explicită: y = mx + n (m = panta, n = ordonata la origine)
Prin punctul P(x₀, y₀), cu panta m: y − y₀ = m(x − x₀)
Prin A(xA, yA) și B(xB, yB): (y − yA)/(yB − yA) = (x − xA)/(xB − xA)
Cazurile particulare: dreptele orizontale au ecuația y = k (panta 0), iar cele verticale au ecuația x = k și nu au pantă. Formula prin două puncte nu se aplică dacă xA = xB sau yA = yB; în aceste situații dreapta este verticală, respectiv orizontală, și scrii ecuația direct.
Ecuația dreptei face parte din geometria de clasa a IX-a și a X-a și apare frecvent la Subiectul I, la toate programele. Legătura cu algebra este directă: forma explicită y = mx + n este exact graficul unei funcții de gradul I.
Panta unei drepte
Panta (coeficientul unghiular) măsoară cât de înclinată este dreapta. Dacă α este unghiul făcut de dreaptă cu sensul pozitiv al axei Ox:
mAB = (yB − yA)/(xB − xA), xA ≠ xB
ax + by + c = 0, b ≠ 0 ⇒ m = −a/b
Pantă pozitivă înseamnă dreaptă „care urcă”, pantă negativă — dreaptă „care coboară”. Panta este aceeași noțiune pe care o întâlnești la tangenta la grafic, unde m = f′(x₀).
Drepte paralele și perpendiculare
Pentru două drepte neverticale d₁ și d₂, cu pantele m₁ și m₂:
d₁ ⊥ d₂ ⇔ m₁ · m₂ = −1
În forma generală, o paralelă la ax + by + c = 0 are ecuația ax + by + c′ = 0 (păstrezi coeficienții lui x și y), iar o perpendiculară are ecuația bx − ay + c″ = 0. Constanta se află punând condiția ca dreapta să treacă prin punctul dat.
Sfat: perpendiculara are panta „inversată și cu semn schimbat”. Dacă m = 3, perpendiculara are −1/3; dacă m = −2/5, perpendiculara are 5/2.
Coliniaritate, distanțe și arii
Câteva formule completează instrumentarul. Coliniaritatea a trei puncte se verifică fie cu pantele (mAB = mAC), fie cu vectori, fie cu un determinant de ordinul trei (clasa a XI-a):
Aria triunghiului ABC = |Δ| / 2
Distanța de la P(x₀, y₀) la d: ax + by + c = 0 este |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Intersecția a două drepte se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor. Dacă sistemul nu are soluție, dreptele sunt paralele; dacă are o infinitate, coincid.
Exerciții rezolvate
Determinați ecuația dreptei AB, unde A(1, 2) și B(3, 6).
Rezolvare: Panta: mAB = (6 − 2)/(3 − 1) = 2. Prin punctul A: y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x, sau în formă generală 2x − y = 0. Verificare cu B: 2·3 − 6 = 0 ✓.
Determinați ecuația dreptei care trece prin P(1, −1) și este paralelă cu dreapta d: 2x − y + 3 = 0.
Rezolvare: Dreapta căutată are forma 2x − y + c = 0. Punând condiția P ∈ dreaptă: 2·1 − (−1) + c = 0, deci c = −3. Ecuația este 2x − y − 3 = 0.
Determinați ecuația dreptei care trece prin P(2, 1) și este perpendiculară pe dreapta y = 3x − 1.
Rezolvare: Panta dreptei date este 3, deci panta perpendicularei este m = −1/3. Ecuația: y − 1 = −(1/3)(x − 2). Înmulțim cu 3: 3y − 3 = −x + 2, adică x + 3y − 5 = 0.
Fie A(1, 3) și B(5, 1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB.
Rezolvare: Mediatoarea trece prin mijlocul lui AB și este perpendiculară pe AB. Mijlocul: M((1 + 5)/2, (3 + 1)/2) = M(3, 2). Panta lui AB: (1 − 3)/(5 − 1) = −1/2, deci panta mediatoarei este 2.
Ecuația: y − 2 = 2(x − 3), adică 2x − y − 4 = 0.
Determinați numărul real a pentru care punctele A(1, 1), B(2, 3) și C(a, 7) sunt coliniare.
Rezolvare: mAB = (3 − 1)/(2 − 1) = 2. Impunem mAC = 2: (7 − 1)/(a − 1) = 2 ⇒ a − 1 = 3 ⇒ a = 4. (Pentru a = 1 dreapta AC ar fi verticală, deci nu ar conține B, așa că împărțirea este permisă.)
a) Determinați punctul de intersecție al dreptelor x + y = 5 și 2x − y = 1. b) Calculați distanța de la P(1, 2) la dreapta 3x + 4y − 1 = 0.
Rezolvare: a) Adunând ecuațiile: 3x = 6, deci x = 2 și y = 3. Punctul este (2, 3).
b) d = |3·1 + 4·2 − 1| / √(9 + 16) = |10| / 5 = 2.
Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(4, 0), C(1, 3).
Rezolvare: Dezvoltând determinantul după prima linie: Δ = 0·(0 − 3) − 0·(4 − 1) + 1·(4·3 − 0·1) = 12. Aria este |12|/2 = 6. Verificare: baza AB = 4 se află pe Ox, înălțimea din C este 3, iar 4·3/2 = 6 ✓.
Greșeli frecvente
- Panta din forma generală fără semn: pentru
2x − y + 3 = 0, panta este−2/(−1) = 2, nu−2. - Perpendiculara cu panta doar inversată (
1/3în loc de−1/3) sau doar cu semn schimbat (−3). - Dreapta verticală: dacă
xA = xB, panta nu există; ecuația estex = xA. - Lipsa modulului în formula distanței, care poate da o distanță negativă.
- Mediatoarea confundată cu mediana: mediatoarea trece prin mijlocul segmentului și e perpendiculară pe el; mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Pentru recapitularea rapidă a acestor formule alături de restul materiei, vezi fișa de formule M1 sau fișa de formule M2. Iar dacă vrei să exersezi exercițiile scurte într-un ritm de examen, citește Cum să rezolvi rapid Subiectul I.
Întrebări frecvente
Cum aflu panta unei drepte scrise sub forma ax + by + c = 0?
Dacă b ≠ 0, panta este m = −a/b. O obții și explicitând y: by = −ax − c, deci y = (−a/b)x − c/b, iar coeficientul lui x este panta. Dacă b = 0, dreapta este verticală și nu are pantă.
Care este condiția ca două drepte să fie perpendiculare?
Două drepte neverticale cu pantele m₁ și m₂ sunt perpendiculare dacă și numai dacă m₁·m₂ = −1. O dreaptă verticală este perpendiculară pe orice dreaptă orizontală.
Cum verific dacă un punct aparține unei drepte?
Înlocuiești coordonatele punctului în ecuația dreptei. Dacă obții o egalitate adevărată, punctul aparține dreptei; altfel, nu.