Ce este o primitivă
Fie f : I → ℝ, unde I este un interval. O funcție F : I → ℝ se numește primitivă a lui f dacă F este derivabilă pe I și
Dacă F este o primitivă, atunci și F + C este primitivă pentru orice constantă reală C, pentru că derivata unei constante este zero. Pe un interval, acestea sunt toate primitivele. Mulțimea lor se notează cu integrala nedefinită:
Două lucruri importante decurg de aici:
- ca să verifici o primitivă nu integrezi, ci derivezi. Prin urmare, tabelul de derivate este fundamentul acestui capitol;
- orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Funcțiile date pe ramuri trebuie mai întâi verificate la continuitate.
Primitivele se studiază în clasa a XII-a și deschid problema a doua de la Subiectul al III-lea, la toate programele care au analiză (M1, M2 și M3). Diferența dintre programe apare în complexitatea funcțiilor și în metodele cerute.
Tabelul de primitive
Fiecare rând se verifică derivând coloana din dreapta. Formulele sunt valabile pe intervalele pe care funcția din stânga este definită.
| Funcția f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
k (constantă) | kx + C |
xⁿ, n ∈ ℕ | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
xᵃ, a ∈ ℝ \ {−1}, x > 0 | xᵃ⁺¹/(a + 1) + C |
1/x | ln |x| + C |
eˣ | eˣ + C |
aˣ, a > 0, a ≠ 1 | aˣ/ln a + C |
sin x | −cos x + C |
cos x | sin x + C |
1/cos²x | tg x + C |
1/sin²x | −ctg x + C |
1/(x² + a²), a ≠ 0 | (1/a)·arctg(x/a) + C |
1/(x² − a²), a ≠ 0 | (1/(2a))·ln |(x − a)/(x + a)| + C |
1/√(x² + a²) | ln(x + √(x² + a²)) + C |
1/√(x² − a²) | ln |x + √(x² − a²)| + C |
1/√(a² − x²), a > 0 | arcsin(x/a) + C |
Ultimele rânduri (cu arctg, arcsin și radicali) apar mai ales la M1 și M2. La M3, cerințele folosesc de regulă primele rânduri ale tabelului.
Pe lângă tabel, reține forma generalizată, pe care o vei folosi constant când la numărător apare derivata numitorului:
∫ u′(x)·eu(x) dx = eu(x) + C
∫ u′(x)·uⁿ(x) dx = uⁿ⁺¹(x)/(n + 1) + C
Proprietăți și trucuri de rescriere
Integrala nedefinită este liniară: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx. Nu există însă o regulă pentru produs sau pentru cât — ∫ f·g dx nu este ∫ f dx · ∫ g dx. De aceea, mare parte din muncă înseamnă să rescrii funcția ca sumă de termeni din tabel:
- împarți termen cu termen:
(x² + 1)/x = x + 1/x; - scrii radicalii ca puteri:
√x = x1/2,1/√x = x−1/2; - desfaci parantezele:
(x + 1)² = x² + 2x + 1; - adaugi și scazi același termen la numărător:
x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
Exerciții rezolvate
Se consideră f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = ln x, și F : (0, +∞) → ℝ, F(x) = x ln x − x. Arătați că F este o primitivă a funcției f.
Rezolvare: F este derivabilă pe (0, +∞) și
F′(x) = (x)′·ln x + x·(ln x)′ − 1 = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x = f(x), pentru orice x > 0.
Deci F este o primitivă a lui f. Observă că redactarea are trei elemente: derivabilitatea, calculul derivatei și concluzia.
Determinați primitiva F a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x² + 2x + eˣ, care verifică F(0) = 2.
Rezolvare: Din tabel, F(x) = x³ + x² + eˣ + C. Atunci F(0) = 0 + 0 + 1 + C = 1 + C. Din 1 + C = 2 obținem C = 1, deci F(x) = x³ + x² + eˣ + 1.
Determinați numărul real a pentru care F : ℝ → ℝ, F(x) = (ax + 1)eˣ, este o primitivă a funcției f(x) = (x + 2)eˣ.
Rezolvare: F′(x) = a·eˣ + (ax + 1)eˣ = (ax + a + 1)eˣ. Impunem F′(x) = f(x) pentru orice x, adică ax + a + 1 = x + 2. Identificând coeficienții: a = 1 și a + 1 = 2, ambele adevărate. Deci a = 1.
Calculați ∫ (x² + 1)/x dx, x > 0, și ∫ 1/(x² + 4) dx, x ∈ ℝ.
Rezolvare: Împărțim termen cu termen: (x² + 1)/x = x + 1/x, deci ∫ (x² + 1)/x dx = x²/2 + ln x + C (pe (0, +∞), |x| = x).
Pentru a doua, folosim rândul cu a = 2: ∫ 1/(x² + 4) dx = (1/2)·arctg(x/2) + C.
Calculați ∫ 2x/(x² + 1) dx și ∫ 2x·ex² dx.
Rezolvare: Cu u(x) = x² + 1, u′(x) = 2x, prima integrală este ln(x² + 1) + C (fără modul, pentru că x² + 1 > 0). Cu u(x) = x², a doua este ex² + C. Verifică derivând — durează zece secunde.
Metode de calcul
Când tabelul și rescrierea nu sunt suficiente, ai două instrumente principale:
- Integrarea prin părți:
∫ f·g′ dx = f·g − ∫ f′·g dx, potrivită pentru produse de tipulx·eˣ,x·ln x,x·sin x. - Schimbarea de variabilă: recunoști o funcție compusă și derivata funcției interioare, ca în Exemplul 5.
Ambele metode sunt tratate detaliat, cu exemple pe integrale definite, în articolul Integrarea prin părți și schimbarea de variabilă. După ce stăpânești primitivele, pasul următor natural este integrala definită și formula Leibniz–Newton, unde primitiva se evaluează între două limite.
Sfat: pentru ∫ 1/(x² − a²) dx nu memora mecanic; poți descompune oricând: 1/(x² − 9) = (1/6)·[1/(x − 3) − 1/(x + 3)], iar rezultatul (1/6)·ln |(x − 3)/(x + 3)| + C apare imediat.
Greșeli frecvente
Ce costă puncte la acest capitol:
- Uitarea constantei
Cla integrala nedefinită. La „determinați primitiva care…”, constanta este exact necunoscuta pe care o cauți. - Semnul la
sin x:∫ sin x dx = −cos x + C, nucos x + C. - Formula puterii aplicată la
1/x:x⁻¹nu se integrează cuxⁿ⁺¹/(n + 1)(s-ar împărți la zero); rezultatul esteln |x|. - „Primitiva produsului este produsul primitivelor” — fals.
∫ x·eˣ dx = (x − 1)eˣ + C, nu(x²/2)·eˣ + C. - Lipsa verificării domeniului la funcțiile cu ramuri: o funcție discontinuă printr-un salt nu admite primitive pe interval.
Un ultim obicei care merită format: după fiecare primitivă calculată pe ciornă, derivează rezultatul. Este singurul capitol în care ai o metodă de verificare complet sigură și rapidă. Pentru o fișă cu toate formulele de analiză pe o singură pagină, vezi formulele pentru M1 sau formulele pentru M2.
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre primitivă și integrală nedefinită?
O primitivă este o singură funcție F cu F′ = f. Integrala nedefinită ∫ f(x) dx este mulțimea tuturor primitivelor lui f, adică F(x) + C, unde C este o constantă reală oarecare.
Cum arăt că F este o primitivă a lui f?
Arăți că F este derivabilă și calculezi F′(x). Dacă obții F′(x) = f(x) pentru orice x din domeniu, F este o primitivă a lui f. Nu trebuie să integrezi nimic, doar să derivezi.
Are orice funcție primitive?
Nu. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. O funcție cu un salt (discontinuitate de prima speță) pe un interval nu admite primitive pe acel interval, lucru folosit în unele cerințe de la M1.