Forma algebrică și unitatea imaginară
Un număr complex se scrie în forma algebrică z = a + bi, unde a, b ∈ ℝ, iar i este unitatea imaginară, cu proprietatea i² = −1. Numărul a se numește partea reală (Re z), iar b partea imaginară (Im z). Atenție: partea imaginară este b, nu bi.
- Dacă
b = 0, numărul este real:ℝ ⊂ ℂ. - Dacă
a = 0șib ≠ 0, numărul se numește pur imaginar, de exemplu3i. - Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare.
Ultima proprietate este cheia multor exerciții: o egalitate între numere complexe se transformă într-un sistem de două ecuații reale.
Numerele complexe în formă algebrică fac parte din programa M1 (mate-info), clasa a X-a, și apar de regulă la Subiectul I. Pentru celelalte programe, conținutul este mai restrâns; verifică programa profilului tău sau citește Diferențele dintre M1, M2 și M3.
Puterile lui i
Puterile lui i se repetă din 4 în 4:
iⁿ = i^(r), unde r este restul împărțirii lui n la 4
De exemplu, i²⁰²⁶: cum 2026 = 4 · 506 + 2, avem i²⁰²⁶ = i² = −1. O consecință utilă: suma a patru puteri consecutive ale lui i este zero, pentru că i + i² + i³ + i⁴ = i − 1 − i + 1 = 0.
Calculați S = i + i² + i³ + … + i²⁰²⁶.
Rezolvare: Suma are 2026 de termeni. Grupăm câte patru termeni consecutivi: 2026 = 4 · 506 + 2, deci avem 506 grupe cu suma zero, iar la final rămân i²⁰²⁵ + i²⁰²⁶.
Cum 2025 = 4 · 506 + 1, avem i²⁰²⁵ = i și i²⁰²⁶ = −1. Deci S = i − 1 = −1 + i.
Aceeași sumă se poate calcula și cu formula sumei unei progresii geometrice cu rația i, dar gruparea este mai rapidă și mai greu de greșit.
Operații cu numere complexe
Adunarea, scăderea și înmulțirea se fac exact ca la expresiile algebrice, cu înlocuirea lui i² cu −1:
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi)² = a² − b² + 2abi
Merită să știi pe de rost câteva pătrate: (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i, (1 + 2i)² = −3 + 4i. Primele două ajută enorm la puteri mari.
a) Calculați (2 + 3i)(1 − i).
Rezolvare: (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.
b) Calculați (1 + i)¹⁰.
Rezolvare: (1 + i)¹⁰ = [(1 + i)²]⁵ = (2i)⁵ = 32 · i⁵ = 32i, deoarece i⁵ = i.
Împărțirea se face amplificând fracția cu conjugatul numitorului, astfel încât numitorul să devină real:
Scrieți în formă algebrică numărul z = (1 + 3i) / (1 − i).
Rezolvare: Amplificăm cu 1 + i: z = (1 + 3i)(1 + i) / [(1 − i)(1 + i)] = (1 + i + 3i + 3i²) / 2 = (−2 + 4i) / 2 = −1 + 2i.
Conjugatul și modulul
Pentru z = a + bi, conjugatul este z̄ = a − bi, iar modulul este |z| = √(a² + b²). Geometric, |z| este distanța de la originea planului la punctul de coordonate (a, b), ceea ce leagă capitolul de vectorii în plan.
|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂| |zⁿ| = |z|ⁿ
z ∈ ℝ ⇔ z = z̄
Proprietățile modulului îți permit să calculezi modulul unui produs sau al unui cât fără să mai efectuezi operația. De exemplu, |(3 + 4i)(1 − i)| = 5 · √2 = 5√2.
Determinați numărul complex z care verifică relația 2z + z̄ = 3 + 4i.
Rezolvare: Fie z = a + bi, cu a, b ∈ ℝ. Atunci 2z + z̄ = 2a + 2bi + a − bi = 3a + bi.
Din egalitatea 3a + bi = 3 + 4i obținem 3a = 3 și b = 4, deci a = 1, b = 4 și z = 1 + 4i.
Arătați că numărul w = (1 + i)/(1 − i) + (1 − i)/(1 + i) este real.
Rezolvare: (1 + i)/(1 − i) = (1 + i)² / 2 = 2i / 2 = i, iar (1 − i)/(1 + i) = (1 − i)² / 2 = −2i / 2 = −i. Deci w = i + (−i) = 0 ∈ ℝ.
Sfat: Pentru „arătați că z este real” ai două căi: fie aduci z la forma a + bi și arăți că b = 0, fie arăți că z = z̄. A doua metodă e mai elegantă când expresia este simetrică.
Ecuații în ℂ
Ecuația de gradul al II-lea ax² + bx + c = 0 cu coeficienți reali și Δ < 0 nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate:
Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația z² − 4z + 13 = 0.
Rezolvare: Δ = 16 − 52 = −36, iar √(−Δ) = 6. Deci z₁,₂ = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i.
Verificare cu relațiile lui Viète: z₁ + z₂ = 4 și z₁ · z₂ = 4 + 9 = 13, exact coeficienții ecuației. ✓
Relațiile lui Viète rămân valabile și pentru soluțiile complexe, așa că poți calcula expresii precum z₁² + z₂² fără să afli efectiv soluțiile: z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² − 2z₁z₂ = 16 − 26 = −10.
Greșeli frecvente și sfaturi
Atenție: Partea imaginară a lui 3 − 5i este −5, nu −5i și nici 5. Iar modulul este √(9 + 25) = √34, nu √(9 − 25): în formula modulului nu apare niciodată i.
- Uitarea semnului la
i² = −1în dezvoltări:(2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i, nu5 + 4i. - Calculul greșit al restului la puteri mari ale lui
i: verifică întotdeauna împărțirea la 4. - Lăsarea rezultatului cu
ila numitor. Forma algebrică finală trebuie să fiea + bi. - Scrierea „
√−36 = 6”. Corect este că rădăcinile ecuației conțin±6i.
Sfat: Pentru verificare, calculează produsul dintre rezultat și numitor: dacă z = (1 + 3i)/(1 − i) = −1 + 2i, atunci (−1 + 2i)(1 − i) trebuie să dea 1 + 3i. Și chiar dă.
Exercițiile cu numere complexe sunt rapide odată ce ai reflexele de calcul, motiv pentru care merită incluse în rutina pentru Subiectul I.
Întrebări frecvente
Cât este i la puterea 2026?
Restul împărțirii lui 2026 la 4 este 2, deci i²⁰²⁶ = i² = −1.
Cum împart două numere complexe?
Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Numitorul devine c² + d², un număr real, iar rezultatul se scrie apoi în forma a + bi.
La ce programă de BAC apar numerele complexe?
Numerele complexe în formă algebrică fac parte din programa M1 (mate-info), clasa a X-a, și apar de regulă la Subiectul I. Pentru celelalte programe, verifică programa în vigoare a profilului tău.