Noțiuni de bază
Un polinom cu coeficienți într-un corp K (de obicei ℚ, ℝ, ℂ sau ℤₚ) are forma algebrică:
Numărul n este gradul polinomului (grad f = n), aₙ este coeficientul dominant, iar a₀ este termenul liber. Două observații care apar des în cerințele a):
- Valoarea în 1 dă suma coeficienților:
f(1) = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₀. - Valoarea în 0 dă termenul liber:
f(0) = a₀.
Un număr α este rădăcină a lui f dacă f(α) = 0. Polinoamele fac parte din programa M1 (clasa a XII-a) și apar, de regulă, ca a doua problemă a Subiectului al II-lea, alternând cu legile de compoziție și structurile algebrice.
Împărțirea cu rest și schema lui Horner
Teorema împărțirii cu rest: pentru orice polinoame f și g, cu g ≠ 0, există și sunt unice polinoamele q (câtul) și r (restul) astfel încât:
Consecința practică: restul împărțirii la un polinom de gradul 1 este o constantă, iar restul împărțirii la un polinom de gradul 2 are forma aX + b. Asta îți permite să afli restul fără să faci împărțirea propriu-zisă.
Schema lui Horner
Pentru împărțirea la X − a, schema lui Horner este cea mai rapidă metodă. Scrii coeficienții lui f pe un rând; primul coeficient coboară neschimbat, apoi fiecare număr nou = coeficientul de deasupra + a × numărul anterior. Ultimul număr obținut este restul.
Împărțiți f = 2X³ − 3X² + 4X − 5 la X − 2.
| X³ | X² | X | X⁰ | |
|---|---|---|---|---|
| coeficienți | 2 | −3 | 4 | −5 |
| a = 2 | 2 | −3 + 2·2 = 1 | 4 + 2·1 = 6 | −5 + 2·6 = 7 |
Câtul este q = 2X² + X + 6, iar restul este r = 7. Verificare rapidă: f(2) = 16 − 12 + 8 − 5 = 7, exact cum prevede teorema lui Bézout.
Teorema lui Bézout și divizibilitatea
f se divide cu (X − a) ⇔ f(a) = 0 ⇔ a este rădăcină a lui f.
Teorema transformă o problemă de împărțire într-un simplu calcul de valoare. La fel, „f se divide cu (X − a)(X − b)”, cu a ≠ b, înseamnă f(a) = 0 și f(b) = 0.
Se consideră f = X³ − 2X² + aX + 6, cu a ∈ ℝ.
a) Determinați a știind că f se divide cu X − 3.
Rezolvare: f(3) = 27 − 18 + 3a + 6 = 15 + 3a = 0, deci a = −5.
b) Pentru a = −5, aflați rădăcinile lui f.
Rezolvare: Cu Horner la X − 3: coeficienții 1, −2, −5, 6 dau 1, 1, −2, 0, deci f = (X − 3)(X² + X − 2) = (X − 3)(X − 1)(X + 2). Rădăcinile sunt 3, 1, −2.
c) Verificați relațiile lui Viète.
Rezolvare: 3 + 1 + (−2) = 2 = −(−2)/1; 3·1 + 3·(−2) + 1·(−2) = −5; 3·1·(−2) = −6 = −6/1. Toate se potrivesc.
Determinați restul împărțirii lui f = X²⁰²⁶ + X + 1 la X² − 1.
Rezolvare: Restul are forma r = aX + b, deci f = (X² − 1)·q + aX + b. Înlocuim rădăcinile lui X² − 1:
X = 1: f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 = a + b;X = −1: f(−1) = 1 − 1 + 1 = 1 = −a + b (2026 este par).
Rezultă b = 2 și a = 1, deci restul este X + 2.
Rădăcini multiple și rădăcini complexe
Rădăcina α are ordinul de multiplicitate k dacă f se divide cu (X − α)ᵏ, dar nu cu (X − α)ᵏ⁺¹. Pentru rădăcina dublă există un criteriu foarte comod, cu derivata:
Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât f = X³ + aX + b să se dividă cu (X − 1)².
Rezolvare: f(1) = 1 + a + b = 0 și f′ = 3X² + a, deci f′(1) = 3 + a = 0. Obținem a = −3, b = 2, iar f = X³ − 3X + 2 = (X − 1)²(X + 2).
Rădăcini complexe conjugate. Dacă f are coeficienți reali și z = a + bi (b ≠ 0) este rădăcină, atunci și conjugatul a − bi este rădăcină. De exemplu, pentru f = X³ − 3X² + 4X − 2 observăm că f(1) = 0; împărțind la X − 1 obținem X² − 2X + 2, cu rădăcinile 1 ± i. Pentru calculele cu i, recitește numerele complexe.
Rădăcini raționale. Dacă f are coeficienți întregi și p/q (fracție ireductibilă) este rădăcină, atunci p divide termenul liber, iar q divide coeficientul dominant. Asta îți restrânge candidații la câteva numere de încercat.
Relațiile lui Viète pentru gradul 3 și 4
Relațiile de gradul al II-lea le găsești în articolul despre relațiile lui Viète. La M1 le folosești mai ales pentru gradul 3. Dacă x₁, x₂, x₃ sunt rădăcinile lui f = aX³ + bX² + cX + d:
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = −d/a
Pentru gradul 4, f = aX⁴ + bX³ + cX² + dX + e, semnele alternează la fel: suma rădăcinilor este −b/a, suma produselor câte două c/a, suma produselor câte trei −d/a, iar produsul tuturor e/a.
1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) / (x₁x₂x₃)
Fie x₁, x₂, x₃ rădăcinile lui f = X³ − 3X + 1. Calculați: a) x₁² + x₂² + x₃²; b) 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃; c) x₁³ + x₂³ + x₃³.
Rezolvare: Avem s₁ = 0, s₂ = −3, s₃ = −1.
a) 0² − 2·(−3) = 6.
b) s₂/s₃ = (−3)/(−1) = 3.
c) Fiecare rădăcină verifică xᵢ³ = 3xᵢ − 1. Adunând: x₁³ + x₂³ + x₃³ = 3(x₁ + x₂ + x₃) − 3 = 0 − 3 = −3.
Sfat: Trucul de la c) — înlocuirea puterii mari folosind ecuația f(xᵢ) = 0 — funcționează pentru orice putere. Este una dintre cele mai rapide metode de a obține punctele „de 10”.
Polinoame cu coeficienți în ℤₚ
Când coeficienții sunt în ℤₚ, cauți rădăcinile încercând pe rând toate cele p clase. Exemplu: pentru f = X³ + 2X + 3 ∈ ℤ₅[X] obții f(0) = 3, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 1, f(4) = 0. Rădăcinile sunt 2 și 4, iar factorizarea completă este f = (X − 2)(X − 4)², deci 4 este rădăcină dublă.
Greșeli frecvente
Atenție:
- Semnele în Viète. Suma rădăcinilor este
−b/a, nub/a; la gradul 3, produsul este−d/a. - Coeficienți lipsă în Horner. Pentru
X³ − 3X + 1scrii coeficienții1, 0, −3, 1— fără zero, tot calculul e greșit. - Restul la gradul 2 considerat constantă. Restul la un polinom de gradul 2 are forma
aX + b. - Rădăcina dublă verificată doar cu f(α) = 0. E nevoie și de
f′(α) = 0. - Calcule în ℤₚ fără reducere. După fiecare operație, ia restul la p.
Întrebări frecvente
Cum aflu restul împărțirii unui polinom la X − a fără să împart?
Folosești teorema lui Bézout: restul este f(a). De exemplu, restul împărțirii lui X³ − 2X + 5 la X − 1 este 1 − 2 + 5 = 4.
Când folosesc schema lui Horner?
Când împarți la un binom de forma X − a și ai nevoie de cât, nu doar de rest. Schema îți dă simultan coeficienții câtului și restul, ceea ce e util pentru a descompune polinomul în factori.
Polinoamele sunt în programa M2 sau M3?
Polinoamele, cu teorema lui Bézout și relațiile lui Viète pentru grad mai mare decât 2, țin de programa M1 (mate-info). Pentru celelalte programe verifică lista oficială de conținuturi.