Definiție și rație
Un șir (aₙ)ₙ≥₁ este o progresie aritmetică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul adunând același număr r, numit rație:
r = aₙ₊₁ − aₙ = a₂ − a₁
Exemple: 2, 5, 8, 11, … are rația 3; 10, 6, 2, −2, … are rația −4; un șir constant 7, 7, 7, … este progresie aritmetică cu rația 0. Dacă r > 0, progresia este strict crescătoare, iar dacă r < 0, strict descrescătoare.
Ca să arăți că un șir dat prin formulă este progresie aritmetică, calculezi diferența aₙ₊₁ − aₙ și arăți că nu depinde de n. De exemplu, pentru aₙ = 3n − 1: aₙ₊₁ − aₙ = 3(n + 1) − 1 − (3n − 1) = 3, constantă, deci șirul este progresie aritmetică cu rația 3.
Termenul general
Ca să ajungi de la a₁ la aₙ, aduni rația de n − 1 ori:
Mai general, între doi termeni oarecare se aplică aₙ = aₖ + (n − k)·r. Formula aceasta este utilă când nu cunoști a₁, ci doi termeni din „mijlocul” șirului: a₇ − a₃ = 4r, fără să mai treci prin a₁.
Suma primilor n termeni
Suma Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ se calculează cu una dintre formulele:
Sₙ = [2a₁ + (n − 1)·r]·n / 2
Ideea din spatele formulei (atribuită lui Gauss): dacă scrii suma o dată în ordine crescătoare și o dată în ordine descrescătoare și aduni pe coloane, fiecare pereche dă a₁ + aₙ, iar perechile sunt n. Cazul particular cel mai cunoscut:
Folosește prima formulă când cunoști ultimul termen și a doua când cunoști rația. Și o relație inversă, utilă când ți se dă suma ca funcție de n:
Trei termeni consecutivi
Numerele a, b, c (în această ordine) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor:
Este, probabil, cea mai frecventă cerință de BAC pe acest capitol: „Determinați numărul real x pentru care numerele … sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.” Scrii condiția, rezolvi ecuația și, ideal, verifici calculând cei trei termeni.
Proprietăți care scurtează calculele
- Termeni egal depărtați de capete:
a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = …. Mai general, dacăi + j = k + l, atunciaᵢ + aⱼ = aₖ + aₗ. - Termenul din mijloc: pentru n impar,
Sₙ = n · a(n+1)/2. De exemplu,S₉ = 9·a₅. - Reprezentare simetrică: trei termeni consecutivi pot fi notați
b − r, b, b + r. Suma lor este3b, ceea ce simplifică multe probleme.
Sfat: când o problemă îți dă două informații despre progresie (doi termeni, un termen și o sumă etc.), scrie totul în funcție de a₁ și r. Obții un sistem de două ecuații cu două necunoscute, de obicei liniar.
Exerciții rezolvate
Se consideră progresia aritmetică (aₙ) cu a₁ = 3 și r = 4. Calculați a₁₀ și suma primilor 10 termeni.
Rezolvare: a₁₀ = a₁ + 9r = 3 + 36 = 39. Apoi S₁₀ = (a₁ + a₁₀)·10/2 = (3 + 39)·5 = 210.
Într-o progresie aritmetică a₃ = 7 și a₇ = 19. Calculați suma primilor 20 de termeni.
Rezolvare: a₇ − a₃ = 4r, deci 4r = 12 și r = 3. Din a₃ = a₁ + 2r obținem a₁ = 7 − 6 = 1.
S₂₀ = [2a₁ + 19r]·20/2 = (2 + 57)·10 = 590. Verificare cu cealaltă formulă: a₂₀ = 1 + 57 = 58 și (1 + 58)·20/2 = 590.
Determinați numărul real x pentru care numerele x + 1, 2x + 3 și 5x − 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Rezolvare: condiția este 2(2x + 3) = (x + 1) + (5x − 1), adică 4x + 6 = 6x, deci x = 3. Verificare: numerele sunt 4, 9, 14, cu rația 5.
Calculați suma 1 + 5 + 9 + … + 81.
Rezolvare: termenii formează o progresie aritmetică cu a₁ = 1 și r = 4. Aflăm câți termeni sunt: 1 + (n − 1)·4 = 81 ⇔ n − 1 = 20 ⇔ n = 21. Suma este (1 + 81)·21/2 = 41·21 = 861.
Suma primilor n termeni ai unui șir este Sₙ = n² + 2n, pentru orice n ≥ 1. Arătați că șirul este progresie aritmetică.
Rezolvare: pentru n ≥ 2: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² + 2n − [(n − 1)² + 2(n − 1)] = n² + 2n − (n² − 1) = 2n + 1. Pentru n = 1: a₁ = S₁ = 3 = 2·1 + 1, deci formula aₙ = 2n + 1 este valabilă pentru orice n. Diferența aₙ₊₁ − aₙ = 2 este constantă, așadar șirul este progresie aritmetică cu rația 2.
Într-o progresie aritmetică a₂ + a₈ = 20. Calculați S₉.
Rezolvare: cum 2 + 8 = 1 + 9, avem a₁ + a₉ = a₂ + a₈ = 20. Atunci S₉ = (a₁ + a₉)·9/2 = 20·9/2 = 90. Nu a fost nevoie să aflăm nici a₁, nici r.
Greșeli frecvente
n în loc de n − 1. Termenul general este a₁ + (n − 1)r. De la a₁ la a₁₀ sunt 9 „pași”, nu 10.
Numărul greșit de termeni. În sume de forma 1 + 5 + … + 81, nu ghici câți termeni sunt — află-l din formula termenului general, ca în Exercițiul 4.
Formula aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ pentru n = 1. Ea are sens doar pentru n ≥ 2. Primul termen se calculează separat: a₁ = S₁.
Confuzia cu progresia geometrică. La aritmetică aduni rația și condiția de mijloc este 2b = a + c; la geometrică înmulțești cu rația și condiția este b² = ac. Diferențele sunt detaliate în Progresii geometrice.
Progresiile aritmetice apar și în alte contexte: suma f(1) + f(2) + … + f(n) pentru o funcție de gradul I este suma unei progresii aritmetice, iar coeficienții unor ecuații din problemele cu relațiile lui Viète pot fi în progresie. Locul lor în subiect este descris în structura subiectului de BAC, iar formulele de pe acest capitol le găsești adunate în fișa de formule M2.
Întrebări frecvente
Care este formula termenului general al unei progresii aritmetice?
Termenul general este aₙ = a₁ + (n − 1)·r, unde a₁ este primul termen și r este rația.
Cum calculez suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice?
Folosești Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 dacă știi ultimul termen, sau Sₙ = [2a₁ + (n − 1)·r]·n/2 dacă știi rația.
Când sunt trei numere termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?
Numerele a, b, c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă 2b = a + c, adică termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi.