Ce este o ecuație exponențială
Numim ecuație exponențială o ecuație în care necunoscuta apare la exponentul unei puteri, de exemplu 2ˣ = 16, 3ˣ⁺¹ + 3ˣ = 36 sau 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0. Baza puterii este un număr real strict pozitiv și diferit de 1, iar funcția f(x) = aˣ este definită pe tot ℝ.
Capitolul face parte din materia clasei a X-a și apare la toate programele: la M1, M2 și M3 îl întâlnești de regulă la Subiectul I, sub forma „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația…”. La M1 poate apărea și în probleme mai lungi, unde ecuația se rezolvă cu ajutorul monotoniei unei funcții.
Vestea bună: spre deosebire de ecuațiile iraționale sau cele logaritmice, ecuațiile exponențiale nu cer condiții de existență pentru x, pentru că aˣ are sens pentru orice număr real. Singura condiție care apare des este t > 0, atunci când faci o substituție.
Proprietățile pe care te sprijini
Toate metodele de mai jos se bazează pe regulile de calcul cu puteri și pe faptul că funcția exponențială este injectivă. Pentru a > 0, a ≠ 1 și orice x, y ∈ ℝ:
a⁻ˣ = 1 / aˣ aˣ · bˣ = (ab)ˣ a⁰ = 1
aˣ = aʸ ⇔ x = y (injectivitate)
aˣ = b ⇔ x = logₐ b, pentru b > 0
Mai reține că aˣ > 0 pentru orice x. De aici rezultă imediat că o ecuație ca 2ˣ = −4 sau 3ˣ = 0 nu are soluții reale — nu e nevoie de niciun calcul, doar de o propoziție de justificare.
Dacă vrei să revezi de ce funcția exponențială este injectivă și ce înseamnă asta grafic, găsești explicația în articolul despre funcții injective, surjective și bijective.
Tipul 1: aducerea la aceeași bază
Este cel mai frecvent tip. Scrii ambii membri ca puteri ale aceleiași baze, apoi egalezi exponenții. Pentru asta trebuie să recunoști rapid puterile uzuale: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴, 25 = 5², 125 = 5³, precum și 1/4 = 2⁻² sau √2 = 2^(1/2).
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(x² − 3x) = 1/4.
Rezolvare: Scriem 1/4 = 2⁻², deci ecuația devine 2^(x² − 3x) = 2⁻². Funcția exponențială fiind injectivă, egalăm exponenții: x² − 3x = −2, adică x² − 3x + 2 = 0. Avem Δ = 9 − 8 = 1, de unde x₁ = 1 și x₂ = 2.
Mulțimea soluțiilor este S = {1, 2}. Verificare rapidă: pentru x = 1, exponentul este 1 − 3 = −2, iar 2⁻² = 1/4. ✓
Observă că, după egalarea exponenților, ecuația exponențială s-a transformat într-o ecuație de gradul al II-lea. Asta se întâmplă foarte des, așa că merită să ai la îndemână formulele din funcția de gradul al II-lea.
Sfat: Când baza este o fracție, de exemplu (1/3)ˣ = 27, scrie totul cu baza 3: 3⁻ˣ = 3³, deci x = −3. E mai sigur decât să lucrezi cu fracții la exponent.
Tipul 2: factor comun
Când în ecuație apar mai multe puteri cu aceeași bază, dar exponenți care diferă printr-o constantă (2ˣ⁺², 2ˣ, 2ˣ⁻¹), dai factor comun puterea cu exponentul cel mai mic. Totul se reduce la o ecuație de forma aˣ = număr.
Rezolvați în ℝ ecuația 2ˣ⁺² + 2ˣ = 20.
Rezolvare: Cum 2ˣ⁺² = 2ˣ · 2² = 4 · 2ˣ, ecuația devine 4 · 2ˣ + 2ˣ = 20, adică 5 · 2ˣ = 20. Rezultă 2ˣ = 4 = 2², deci x = 2.
Aceeași idee funcționează și pentru produse de puteri cu același exponent, folosind aˣ · bˣ = (ab)ˣ. De exemplu, 2ˣ · 3ˣ = 36 înseamnă 6ˣ = 6², deci x = 2.
Tipul 3: substituția t = aˣ
Dacă ecuația conține simultan a²ˣ (scris adesea ca 4ˣ, 9ˣ, 25ˣ) și aˣ, notezi t = aˣ și obții o ecuație de gradul al II-lea în t. Punctul esențial: t > 0, pentru că o putere a unui număr pozitiv nu poate fi negativă sau zero.
Rezolvați în ℝ ecuația 9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 = 0.
Rezolvare: Notăm t = 3ˣ, cu t > 0. Cum 9ˣ = t², ecuația devine t² − 2t − 3 = 0, cu soluțiile t₁ = 3 și t₂ = −1.
Valoarea t₂ = −1 nu convine, deoarece t > 0. Din 3ˣ = 3 obținem x = 1. Deci S = {1}.
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2ˣ + 2⁻ˣ. Determinați numerele reale x pentru care f(x) = 5/2.
Rezolvare: Cu t = 2ˣ > 0, avem 2⁻ˣ = 1/t, deci t + 1/t = 5/2. Înmulțind cu 2t ≠ 0: 2t² − 5t + 2 = 0, cu Δ = 25 − 16 = 9, deci t₁ = 2, t₂ = 1/2. Ambele sunt pozitive.
Din 2ˣ = 2 rezultă x = 1, iar din 2ˣ = 1/2 = 2⁻¹ rezultă x = −1. Deci x ∈ {−1, 1}.
La ecuațiile de tipul t + 1/t = k, suma și produsul soluțiilor în t se pot verifica imediat cu relațiile lui Viète: produsul este 1, ceea ce explică de ce soluțiile în x sunt opuse.
Tipul 4: baze diferite și logaritmare
Când membrul drept nu este o putere „frumoasă” a bazei, soluția se exprimă cu un logaritm. Dacă aˣ = b și b > 0, atunci x = logₐ b. De exemplu, 2ˣ = 5 are soluția unică x = log₂ 5, și acesta este un răspuns complet — nu trebuie aproximat.
Când ai baze diferite de ambele părți, cum ar fi 2ˣ = 3ˣ⁻¹, logaritmezi ambii membri în aceeași bază:
Un astfel de rezultat este corect și acceptat. Ca să lucrezi sigur cu logaritmii, revezi proprietățile din articolul Logaritmi: proprietăți, formule și ecuații logaritmice.
Tipul 5: ecuații rezolvate prin monotonie
Unele ecuații nu se pot rezolva algebric. Le recunoști după faptul că apar sume de puteri cu baze diferite, de exemplu 3ˣ + 4ˣ = 5ˣ. Metoda este: ghicești o soluție, apoi arăți că ea este unică folosind monotonia.
Rezolvați în ℝ ecuația 3ˣ + 4ˣ = 5ˣ.
Rezolvare: Împărțim prin 5ˣ > 0: (3/5)ˣ + (4/5)ˣ = 1. Funcția g(x) = (3/5)ˣ + (4/5)ˣ este o sumă de două funcții strict descrescătoare (bazele sunt subunitare), deci este strict descrescătoare și, prin urmare, injectivă. O funcție injectivă ia valoarea 1 în cel mult un punct.
Observăm că x = 2 este soluție: 9/25 + 16/25 = 1. Deci soluția unică este x = 2.
La Subiectul al III-lea, aceeași idee apare când monotonia se stabilește cu derivata; vezi monotonie și puncte de extrem.
Inecuații exponențiale
La inecuații contează baza. Funcția aˣ este strict crescătoare pentru a > 1 și strict descrescătoare pentru 0 < a < 1. De aici regula:
0 < a < 1: aˣ < aʸ ⇔ x > y (semnul se schimbă)
a) 2ˣ⁻¹ ≤ 8: scriem 2ˣ⁻¹ ≤ 2³; baza 2 > 1, deci x − 1 ≤ 3, adică x ∈ (−∞, 4].
b) (1/3)ˣ > 9: scriem (1/3)ˣ > (1/3)⁻²; baza este subunitară, deci semnul se schimbă: x < −2, adică x ∈ (−∞, −2).
Greșeli frecvente
Atenție: 2ˣ + 2ˣ nu este 4ˣ, ci 2 · 2ˣ = 2ˣ⁺¹. Iar 2ˣ + 3ˣ nu se poate „aduna” deloc. Regulile de calcul cu puteri sunt pentru produse și câturi, nu pentru sume.
Atenție: După substituția t = aˣ, elimină explicit valorile t ≤ 0 și scrie de ce. Baremul punctează această justificare, iar o soluție de tipul 3ˣ = −1 trecută drept validă îți poate costa punctajul pe exercițiu.
- Confuzia
4ˣ = 4 · xsau4ˣ = (2ˣ)·2; corect este4ˣ = (2ˣ)². - Uitarea schimbării semnului la inecuații cu bază subunitară.
- Scrierea lui
1ca altceva decâta⁰: ecuația5^(x−3) = 1are soluțiax = 3, nux = 1.
Mai multe capcane de acest fel, din toate capitolele, găsești în 15 greșeli frecvente la BAC Matematică.
Sfat: La final, înlocuiește fiecare soluție în ecuația inițială. Durează câteva secunde și te ferește de greșelile de calcul la exponent.
Întrebări frecvente
Ecuațiile exponențiale au condiții de existență?
Nu pentru necunoscută: expresia aˣ, cu a > 0, are sens pentru orice x real. Apare însă condiția t > 0 atunci când notezi t = aˣ, iar valorile negative sau nule ale lui t se elimină.
Când folosesc substituția t = aˣ?
Atunci când în ecuație apar atât a²ˣ (de exemplu 4ˣ sau 9ˣ), cât și aˣ, sau atât aˣ cât și a⁻ˣ. Substituția transformă ecuația într-una de gradul al II-lea în t.
Este corect să las rezultatul sub forma x = log₂ 5?
Da. Dacă ecuația se reduce la 2ˣ = 5, soluția exactă este x = log₂ 5 și nu trebuie aproximată. Un răspuns scris cu logaritm este complet.