Ce este o ecuație irațională
O ecuație este irațională dacă necunoscuta apare sub un radical. Exemple: √(x + 3) = x − 3, ∛(x − 2) = −2, √(x + 5) + √x = 5.
Ideea de rezolvare este întotdeauna aceeași: scapi de radical ridicând la putere, obții o ecuație polinomială (de obicei de gradul I sau al II-lea) și apoi filtrezi soluțiile. Diferența dintre o rezolvare corectă și una greșită stă aproape întotdeauna în acest ultim pas.
Condițiile de existență
Radicalii de ordin par (√, ∜, …) sunt definiți în ℝ doar pentru expresii nenegative, iar valoarea lor este și ea nenegativă. Radicalii de ordin impar (∛, …) sunt definiți pentru orice număr real.
∛A există pentru orice A ∈ ℝ
Pentru ecuația de bază cu radical de ordin 2, echivalența completă este:
Observă că nu mai e nevoie să scrii separat A ≥ 0: dacă A = B², atunci A este automat nenegativ. Condiția esențială, pe care mulți o uită, este B ≥ 0.
Metoda generală
- Scrie condițiile: expresiile de sub radicalii de ordin par ≥ 0 și, dacă un radical este egal cu o expresie, acea expresie ≥ 0.
- Izolează radicalul într-un membru, dacă e posibil.
- Ridică la puterea potrivită (pătrat pentru √, cub pentru ∛).
- Rezolvă ecuația obținută. Pentru gradul al II-lea, vezi formulele cu Δ.
- Păstrează doar soluțiile care respectă condițiile — sau, echivalent, verifică fiecare soluție în ecuația inițială.
Sfat: la BAC, verificarea finală în ecuația inițială este aproape întotdeauna rapidă și este cea mai sigură metodă de a elimina soluțiile false. Fă-o chiar dacă ai pus condițiile — îți prinde și greșelile de calcul.
De ce apar soluții false
Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă. Din a = b rezultă a² = b², dar din a² = b² rezultă doar a = b sau a = −b. Când ridici la pătrat ecuația √A = B, rezolvi de fapt simultan și ecuația √A = −B, iar soluțiile acesteia din urmă sunt „străine”.
La ridicarea la cub nu apare această problemă: a³ = b³ ⇔ a = b pentru numere reale. De aceea ecuațiile cu ∛ nu au nevoie de condiții, dar tot e bine să verifici calculele.
Tipuri de ecuații și strategii
| Forma | Strategie |
|---|---|
√A = k, k număr | dacă k ≥ 0: A = k²; dacă k < 0: nicio soluție |
√A = B | condiția B ≥ 0, apoi A = B² |
√A = √B | A = B și A ≥ 0 (sau B ≥ 0) |
√A + √B = C | izolezi un radical, ridici la pătrat, repeți |
apare √x și x | substituția t = √x ≥ 0 |
∛A = B | A = B³, fără condiții |
Exerciții rezolvate
Rezolvați în ℝ ecuația √(2x + 1) = 3.
Rezolvare: membrul drept este pozitiv, deci ridicăm la pătrat: 2x + 1 = 9, adică x = 4. Verificare: √9 = 3. Soluția este x = 4.
Rezolvați în ℝ ecuația √(x + 3) = x − 3.
Rezolvare: condiții: x + 3 ≥ 0 și x − 3 ≥ 0, deci x ≥ 3.
Ridicăm la pătrat: x + 3 = x² − 6x + 9 ⇔ x² − 7x + 6 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 6.
x = 1 nu respectă condiția x ≥ 3 (într-adevăr, √4 = 2, iar 1 − 3 = −2). x = 6 este bună: √9 = 3 = 6 − 3. Mulțimea soluțiilor este S = {6}.
Rezolvați în ℝ ecuația ∛(x − 2) = −2.
Rezolvare: ridicăm la cub, fără condiții: x − 2 = −8, deci x = −6. Verificare: ∛(−8) = −2. Un membru drept negativ nu este o problemă la radicalul de ordin 3.
Rezolvați în ℝ ecuația √(x + 5) + √x = 5.
Rezolvare: condiția de existență: x ≥ 0. Izolăm un radical: √(x + 5) = 5 − √x. Ridicăm la pătrat: x + 5 = 25 − 10√x + x, deci 10√x = 20 și √x = 2, adică x = 4.
Verificare: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Soluția este x = 4. Observă cum termenul x s-a redus — un semn bun că izolarea a fost alegerea potrivită.
Rezolvați în ℝ ecuația x + √x − 6 = 0.
Rezolvare: notăm t = √x, cu t ≥ 0; atunci x = t², iar ecuația devine t² + t − 6 = 0, cu soluțiile t = 2 și t = −3. Doar t = 2 respectă t ≥ 0, deci √x = 2 și x = 4. Verificare: 4 + 2 − 6 = 0.
Rezolvați în ℝ ecuația ∛(x + 1) = x + 1.
Rezolvare: ridicăm la cub: x + 1 = (x + 1)³. Notăm y = x + 1: y³ − y = 0 ⇔ y(y − 1)(y + 1) = 0, deci y ∈ {−1, 0, 1} și x ∈ {−2, −1, 0}.
Toate trei sunt soluții (de exemplu, pentru x = −2: ∛(−1) = −1). Atenție: nu împărți ecuația y³ = y la y — ai pierde soluția y = 0.
Rezolvați în ℝ ecuația √(x − 3) + √(1 − x) = 0.
Rezolvare: condițiile de existență cer x ≥ 3 și x ≤ 1 simultan, ceea ce este imposibil. Ecuația nu are soluții reale: S = ∅. Uneori, condițiile rezolvă singure exercițiul.
Greșeli frecvente
Soluții false păstrate. În Exercițiul 2, x = 1 verifică ecuația ridicată la pătrat, dar nu și pe cea inițială. Fără condiția x − 3 ≥ 0 sau fără verificare, pierzi punctajul.
Pătratul unei diferențe. (x − 3)² = x² − 6x + 9, nu x² − 9 și nici x² + 9. La fel, (5 − √x)² = 25 − 10√x + x: termenul din mijloc nu dispare.
Ridicarea la pătrat „termen cu termen”. Din √(x + 5) + √x = 5 nu rezultă x + 5 + x = 25. Ridici la pătrat membri întregi, nu fiecare termen separat — de aceea e bine să izolezi întâi un radical.
Condiții inutile la ∛. Nu pune condiția x − 2 ≥ 0 la ∛(x − 2); ai elimina greșit soluția x = −6 din Exercițiul 3.
Aceeași logică „condiții, transformare, verificare” se aplică și la ecuațiile exponențiale și mai ales la ecuațiile logaritmice, unde condițiile de existență sunt la fel de importante. Legătura dintre radicali și modul (√(x²) = |x|) este explicată în Modulul și partea întreagă, iar alte capcane tipice sunt adunate în 15 greșeli frecvente la BAC Matematică.
Întrebări frecvente
Ce condiții pun la o ecuație irațională?
Pentru radicalii de ordin par, expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0. Dacă radicalul este egal cu o expresie, acea expresie trebuie să fie și ea mai mare sau egală cu 0. Radicalii de ordin impar nu necesită condiții.
De ce trebuie să verific soluțiile unei ecuații iraționale?
Pentru că ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă și poate introduce soluții străine, care verifică ecuația ridicată la pătrat, dar nu și ecuația inițială.
Cum rezolv o ecuație cu doi radicali?
Izolezi unul dintre radicali într-un membru, ridici la pătrat, simplifici, apoi repeți procedeul pentru radicalul rămas. La final verifici soluțiile în ecuația inițială.