Formula probabilității clasice
La BAC lucrezi cu probabilitatea clasică: un experiment are un număr finit de rezultate, toate la fel de probabile (alegi „la întâmplare” un element dintr-o mulțime, arunci un zar corect etc.). Atunci, pentru un eveniment A:
0 ≤ P(A) ≤ 1 P(eveniment sigur) = 1 P(eveniment imposibil) = 0
Exercițiul apare de regulă la Subiectul I, la toate programele (M1, M2, M3), și are o formulare tipică: „Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea A, acesta să…”. Toată dificultatea stă în numărarea corectă, de aceea e bine să ai la îndemână permutările, aranjamentele și combinările.
Sfat: Rezultatul final se scrie ca fracție ireductibilă (de exemplu 1/3, nu 10/30). Simplificarea nu este întotdeauna cerută explicit, dar arată că ai terminat calculul și te ferește de confuzii.
Metoda în 4 pași
- Identifică mulțimea din care alegi și numără-i elementele: acesta este numărul cazurilor posibile.
- Traduce condiția din enunț într-o proprietate clară (o inegalitate, o divizibilitate, o ecuație).
- Enumeră sau numără elementele care verifică proprietatea: cazurile favorabile. Dacă sunt puține, scrie-le explicit — corectorul vede raționamentul.
- Împarte și simplifică.
Pasul 1 pare banal, dar e sursa a numeroase greșeli: câte numere naturale de două cifre există? Nu 99, ci 90 (de la 10 la 99). Câte elemente are {1, 2, …, 30}? 30. Dar {0, 1, …, 30}? 31.
Probabilități pe mulțimi de numere
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 30}, acesta să fie multiplu de 3.
Rezolvare: Cazuri posibile: 30. Multiplii lui 3 din A sunt 3, 6, …, 30, adică 30 / 3 = 10 numere. Deci P = 10/30 = 1/3.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5, 6}, acesta să verifice inegalitatea 2ⁿ > n².
Rezolvare: Verificăm pe rând:
n = 1:2 > 1— da;n = 2:4 > 4— nu (egalitate);n = 3:8 > 9— nu;n = 4:16 > 16— nu;n = 5:32 > 25— da;n = 6:64 > 36— da.
Sunt 3 cazuri favorabile din 6 posibile, deci P = 3/6 = 1/2.
Mai jos este și un exemplu cu divizori, unde enumerarea completă este singura cale sigură.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea {1, 2, 3, …, 20}, acesta să fie divizor al lui 20.
Rezolvare: Divizorii naturali ai lui 20 sunt 1, 2, 4, 5, 10, 20, toți în mulțime. Sunt 6 cazuri favorabile din 20 posibile, deci P = 6/20 = 3/10.
Atenție să nu uiți divizorii „improprii” 1 și 20: dacă enunțul nu spune altfel, și ei contează.
Exemplul cu inegalitatea arată de ce nu trebuie să „ghicești” un tipar: inegalitatea este adevărată pentru n = 1, falsă pentru 2, 3, 4 și din nou adevărată de la 5 încolo. Doar verificarea completă dă răspunsul corect. Același lucru se întâmplă când condiția este o inecuație: pentru n ∈ {1, 2, …, 10} cu n² − 5n + 4 ≤ 0, rezolvi inecuația (n ∈ [1, 4], folosind semnul funcției de gradul al II-lea) și găsești 4 valori, deci P = 4/10 = 2/5.
Probabilități cu cifre și numere de două cifre
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural de două cifre, suma cifrelor lui să fie egală cu 5.
Rezolvare: Cazuri posibile: numerele de la 10 la 99, adică 90. Cazuri favorabile: 14, 23, 32, 41, 50, adică 5 numere. Deci P = 5/90 = 1/18.
Calculați probabilitatea ca un număr natural de două cifre, ales la întâmplare, să fie pătrat perfect.
Rezolvare: Pătratele perfecte de două cifre sunt 16, 25, 36, 49, 64, 81 (de la 4² la 9²), adică 6 numere. P = 6/90 = 1/15.
Pentru două zaruri, cazurile posibile sunt perechile ordonate (a, b) cu a, b ∈ {1, …, 6}, adică 6 · 6 = 36. Suma 7 se obține din (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), deci probabilitatea este 6/36 = 1/6. Perechile (1,6) și (6,1) sunt cazuri diferite.
Probabilități cu combinatorică
Când mulțimea din care alegi este formată din submulțimi, numere cu cifre distincte sau alte obiecte numărate cu formule, folosești combinatorica pentru ambele numere din fracție.
Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii {1, 2, 3, 4}, aceasta să aibă exact două elemente.
Rezolvare: Mulțimea are 2⁴ = 16 submulțimi (cazuri posibile). Submulțimile cu două elemente sunt C₄² = 6. Deci P = 6/16 = 3/8.
Calculați probabilitatea ca un număr natural de trei cifre, ales la întâmplare, să aibă cifrele distincte.
Rezolvare: Numerele de trei cifre sunt de la 100 la 999, deci 900. Cu cifre distincte: 9 · 9 · 8 = 648 (sutele: 9 variante fără 0; zecile: 9; unitățile: 8). P = 648/900 = 18/25.
Probabilitățile se combină uneori și cu alte capitole: alegi un element dintr-o mulțime de coeficienți binomiali (vezi binomul lui Newton) sau din termenii unei progresii aritmetice. Metoda rămâne aceeași; se schimbă doar proprietatea pe care o verifici.
Atenție: Într-o mulțime, elementele egale se scriu o singură dată. Dacă enunțul spune „mulțimea {C₄⁰, C₄¹, C₄², C₄³, C₄⁴}”, aceasta este de fapt {1, 4, 6}, cu 3 elemente, nu 5. Citește atent dacă problema vorbește despre o mulțime sau despre o listă de numere.
Evenimentul contrar
Uneori este mai ușor să numeri cazurile în care evenimentul nu se produce. Folosești atunci:
Calculați probabilitatea ca un număr natural de două cifre, ales la întâmplare, să conțină cel puțin o cifră egală cu 5.
Rezolvare: Numărăm numerele de două cifre care nu conțin cifra 5: cifra zecilor are 8 variante (1–9 fără 5), cifra unităților 9 variante (0–9 fără 5), deci 8 · 9 = 72. Rezultă 90 − 72 = 18 numere favorabile și P = 18/90 = 1/5.
Formularea „cel puțin” este semnalul clasic pentru evenimentul contrar.
Greșeli frecvente
- Numărarea greșită a cazurilor posibile (99 în loc de 90 de numere de două cifre).
- Oprirea enumerării prea devreme, ca în exemplul cu
2ⁿ > n². - Rezultate mai mari decât 1 — semn sigur că ai inversat fracția sau ai numărat cazuri de două ori.
- Considerarea perechilor
(1, 6)și(6, 1)ca un singur caz la două zaruri.
Sfat: Pe foaia de examen, scrie explicit trei rânduri: numărul de cazuri posibile, lista sau numărul cazurilor favorabile și fracția finală. Astfel, chiar dacă greșești o numărătoare, primești o parte din punctaj. Despre cum funcționează punctajul parțial afli mai multe în Cum se notează lucrarea de BAC.
Întrebări frecvente
Care este formula probabilității la BAC?
Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, când toate rezultatele sunt egal probabile. Rezultatul este întotdeauna între 0 și 1.
Câte numere naturale de două cifre există?
Există 90 de numere naturale de două cifre, de la 10 la 99. Este cel mai des folosit număr de cazuri posibile la exercițiile de probabilitate.
Când folosesc evenimentul contrar?
Când enunțul cere „cel puțin un” element cu o anumită proprietate sau când cazurile nefavorabile sunt mai ușor de numărat. Atunci calculezi P(A) = 1 − P(Ā).