Unde apar structurile algebrice la BAC
Grupurile, inelele și corpurile sunt capitolul de algebră abstractă din clasa a XII-a. Studiul lor complet ține de programa M_mate-info (M1), iar la examen apar în a doua problemă de la Subiectul al II-lea, de cele mai multe ori pornind de la o lege de compoziție sau de la o mulțime de matrice. Dacă dai BAC-ul pe altă programă, verifică în diferențele dintre M1, M2 și M3 ce anume ți se cere.
Vestea bună: nu ai nevoie de teoria de la facultate. La BAC se verifică, practic, trei lucruri: că știi să arăți că o structură este grup (sau inel, sau corp), că știi să lucrezi în ℤₙ și că recunoști și construiești un morfism.
Grupul: cele patru axiome
O mulțime nevidă G cu o lege de compoziție ∘ formează un grup dacă:
(G2) (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), pentru orice x, y, z ∈ G
(G3) există e ∈ G astfel încât x ∘ e = e ∘ x = x, pentru orice x ∈ G
(G4) pentru orice x ∈ G există x′ ∈ G cu x ∘ x′ = x′ ∘ x = e
Dacă, în plus, legea este comutativă, grupul se numește abelian (sau comutativ). Exemple clasice: (ℤ, +), (ℝ, +), (ℝ*, ·), (ℂ*, ·), (ℤₙ, +). Contraexemplu des întâlnit: (ℤ*, ·) nu este grup, pentru că 2 nu are invers întreg.
Pe G = (2, +∞) se definește x ∘ y = xy − 2x − 2y + 6. Arătați că (G, ∘) este grup abelian.
Rezolvare. Forma factorizată este x ∘ y = (x − 2)(y − 2) + 2.
Parte stabilă: dacă x, y > 2, atunci (x − 2)(y − 2) > 0, deci x ∘ y > 2.
Asociativitate: ambele paranteze dau (x − 2)(y − 2)(z − 2) + 2.
Comutativitate: expresia este simetrică în x și y.
Neutru: (x − 2)(e − 2) + 2 = x ⇔ (x − 2)(e − 3) = 0 pentru orice x, deci e = 3 ∈ G.
Simetrice: (x − 2)(x′ − 2) + 2 = 3 ⇔ x′ = 2 + 1/(x − 2). Cum x − 2 > 0, avem 1/(x − 2) > 0, deci x′ > 2, adică x′ ∈ G. Toate axiomele sunt îndeplinite.
Sfat: Pe aceeași lege, dar pe tot ℝ, structura nu mai este grup: elementul 2 nu are simetric. De aceea mulțimea pe care e definită legea contează enorm — ea este cea care „repară” axioma G4.
Grupuri de matrice
Un tip foarte frecvent de problemă definește o familie de matrice care depinde de un parametru, de exemplu M(a) = (1 a; 0 1), cu a ∈ ℝ, și mulțimea G = {M(a) | a ∈ ℝ}. Cheia este întotdeauna o relație de tipul M(a)·M(b) = M(a + b), care se verifică prin înmulțire directă:
Din ea rezultă imediat stabilitatea, neutrul M(0) = I₂ și inversul M(a)⁻¹ = M(−a). Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor, deci nu trebuie refăcută.
Morfisme și izomorfisme de grupuri
Fie (G, ∘) și (H, ∗) două grupuri. O funcție f : G → H este morfism de grupuri dacă:
Dacă f este și bijectivă, ea este izomorfism. Orice morfism duce neutrul în neutru și simetricul în simetric: f(e) = e′ și f(x′) = (f(x))′. Pentru partea de bijectivitate, revezi funcțiile injective, surjective și bijective — cel mai rapid este să găsești explicit inversa.
Cu grupul (G, ∘) din Exemplul 1, arătați că f : (0, +∞) → G, f(x) = x + 2, este izomorfism de la ((0, +∞), ·) la (G, ∘).
Rezolvare. f este bine definită: dacă x > 0, atunci x + 2 > 2.
Morfism: f(xy) = xy + 2, iar f(x) ∘ f(y) = (x + 2 − 2)(y + 2 − 2) + 2 = xy + 2. Expresiile coincid.
Bijectivitate: funcția g : G → (0, +∞), g(y) = y − 2, verifică f(g(y)) = y și g(f(x)) = x, deci f este inversabilă, adică bijectivă.
Observă că f(1) = 3: neutrul înmulțirii (1) ajunge exact în neutrul legii ∘ (3), cum era de așteptat.
Lucrul în ℤₙ
ℤₙ este mulțimea claselor de resturi modulo n: are n elemente, clasele lui 0, 1, …, n − 1. Pe foaia de examen scrie clasele cu căciulă (x̂); în textul de mai jos le notăm simplu, cu cifre. Operațiile se fac ca la numere întregi, apoi se ia restul împărțirii la n.
(ℤₙ, +)este întotdeauna grup abelian; opusul lui k esten − k.- Clasa k este inversabilă față de înmulțire dacă și numai dacă
cmmdc(k, n) = 1. De exemplu, în ℤ₆ doar 1 și 5 sunt inversabile. - Dacă
peste număr prim, orice clasă nenulă din ℤₚ este inversabilă.
a) Rezolvați în ℤ₇ ecuația 3x + 5 = 2.
Rezolvare: 3x = 2 − 5 = −3 = 4. Inversul lui 3 în ℤ₇ este 5, pentru că 3·5 = 15 = 1 în ℤ₇. Înmulțim cu 5: x = 4·5 = 20 = 6. Verificare: 3·6 + 5 = 23 = 2 în ℤ₇.
b) Rezolvați în ℤ₆ ecuația 2x + 3 = 1.
Rezolvare: 2x = 1 − 3 = −2 = 4. Cum 2 nu este inversabil în ℤ₆, nu putem „împărți”; încercăm toate cele 6 clase: 2x ia valorile 0, 2, 4, 0, 2, 4. Deci x ∈ {2, 5} — ecuația are două soluții.
c) Rezolvați în ℤ₅ ecuația x² = 4.
Rezolvare: pătratele claselor din ℤ₅ sunt 0, 1, 4, 4, 1, deci x ∈ {2, 3}.
Inele și corpuri
Un inel este o mulțime cu două legi, (A, +, ·), astfel încât:
înmulțirea este asociativă;
înmulțirea este distributivă față de adunare, la stânga și la dreapta.
Inelul este comutativ dacă înmulțirea e comutativă și unitar dacă înmulțirea are element neutru. Un element a ≠ 0 este divizor al lui zero dacă există b ≠ 0 cu a·b = 0; în ℤ₆, de exemplu, 2·3 = 0.
Un corp este un inel unitar, cu 0 ≠ 1, în care orice element nenul este inversabil. Exemple: ℚ, ℝ, ℂ și ℤₚ cu p prim. ℤ nu este corp, iar ℤₙ este corp dacă și numai dacă n este prim. Un corp nu are divizori ai lui zero, motiv pentru care în ℤ₇ ecuația de gradul I a avut soluție unică, iar în ℤ₆ nu.
Pe ℝ se definesc x ⊕ y = x + y − 1 și x ⊙ y = xy − x − y + 2.
a) Neutrul lui ⊕ este 1 (din x + e − 1 = x), deci 1 joacă rolul lui „zero”. Neutrul lui ⊙: x ⊙ y = (x − 1)(y − 1) + 1, iar (x − 1)(e − 1) + 1 = x ⇔ (x − 1)(e − 2) = 0, deci e = 2 joacă rolul lui „unu”.
b) Inversul lui x ≠ 1 față de ⊙ este x′ = 1 + 1/(x − 1). Singurul element fără invers este exact „zeroul” 1 — semn că structura este corp.
c) Funcția f(x) = x + 1 verifică f(x + y) = f(x) ⊕ f(y) și f(xy) = f(x) ⊙ f(y): ambele dau x + y + 1, respectiv xy + 1. Fiind bijectivă, f este un izomorfism de corpuri între (ℝ, +, ·) și (ℝ, ⊕, ⊙).
Greșeli care costă puncte
Atenție:
- Sari peste partea stabilă. Pe un interval sau pe o mulțime de matrice, axioma G1 nu e „de la sine înțeleasă” și valorează puncte în barem.
- Simetricul nu e verificat în G. Formula
x′ = 2 + 1/(x − 2)trebuie urmată de argumentulx′ > 2. - Împarți în ℤₙ cu n neprim. În ℤ₆, din
2x = 4nu rezultă doarx = 2; verifică toate clasele. - Izomorfism fără bijectivitate. Relația
f(x ∘ y) = f(x) ∗ f(y)arată doar că f e morfism. - Confuzia neutrilor într-un inel. Neutrul adunării și neutrul înmulțirii sunt elemente diferite, chiar dacă legile sunt „ciudate”.
Același tip de raționament — rădăcini în ℤₚ, factorizări, ecuații — reapare la polinoame, unde se lucrează des cu coeficienți din ℤₙ. Când recapitulezi, ține la îndemână și fișa de formule M1.
Întrebări frecvente
Ce trebuie să arăt ca să demonstrez că o mulțime este grup?
Patru lucruri: că legea este internă (mulțimea e parte stabilă), că este asociativă, că există element neutru în mulțime și că fiecare element are un simetric tot în mulțime. Pentru grup abelian mai arăți și comutativitatea.
Când este ℤₙ corp?
ℤₙ este corp dacă și numai dacă n este număr prim. Pentru n compus există divizori ai lui zero, de exemplu 2·3 = 0 în ℤ₆, iar clasele care nu sunt prime cu n nu sunt inversabile.
Care este diferența dintre morfism și izomorfism?
Un morfism păstrează operația: f(x ∘ y) = f(x) ∗ f(y). Un izomorfism este un morfism care este, în plus, bijectiv. Bijectivitatea se arată cel mai ușor găsind funcția inversă.