Funcția injectivă
O funcție f : A → B este injectivă dacă duce elemente diferite în valori diferite:
A doua formă este cea pe care o folosești în demonstrații: pornești de la f(x₁) = f(x₂) și arăți prin calcul că x₁ = x₂.
Cum arăți că o funcție NU este injectivă: găsești două valori diferite cu aceeași imagine. Pentru f : ℝ → ℝ, f(x) = x², avem f(−1) = f(1) = 1, deci f nu este injectivă. Un singur contraexemplu este suficient.
Interpretarea grafică: f este injectivă dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul în cel mult un punct.
Capitolul aparține materiei de clasa a X-a (funcții) și este tratat cel mai pe larg în programa M1, unde apare atât la Subiectul I, cât și în cerințe de tip c) la analiză. Verifică programa profilului tău dacă dai M2 sau M3; ideile de bază se regăsesc oricum în lucrul cu funcția de gradul I și cu inversa ei.
Funcția surjectivă
O funcție f : A → B este surjectivă dacă orice element din codomeniu este atins:
Practic, iei un y oarecare din B, rezolvi ecuația f(x) = y în necunoscuta x și verifici că soluția aparține lui A.
Exemplu: f : ℝ → ℝ, f(x) = x² nu este surjectivă, deoarece y = −1 nu este atins (x² ≥ 0). La fel, g : ℝ → ℝ, g(x) = 2ˣ nu este surjectivă, pentru că imaginea ei este (0, +∞).
Interpretarea grafică: orice paralelă la Ox dusă printr-un punct al codomeniului intersectează graficul în cel puțin un punct.
Atenție: Surjectivitatea depinde de codomeniu. Aceeași lege x² definește o funcție nesurjectivă dacă f : ℝ → ℝ, dar surjectivă dacă f : ℝ → [0, +∞). Citește întotdeauna cu atenție mulțimile din enunț.
Funcția bijectivă
O funcție este bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă. Echivalent: pentru orice y ∈ B, ecuația f(x) = y are exact o soluție x ∈ A. Grafic, orice paralelă la Ox prin codomeniu taie graficul în exact un punct.
Arătați că funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2 este bijectivă.
Injectivitate: dacă f(x₁) = f(x₂), atunci 3x₁ − 2 = 3x₂ − 2, deci x₁ = x₂.
Surjectivitate: fie y ∈ ℝ. Ecuația 3x − 2 = y are soluția x = (y + 2)/3 ∈ ℝ.
Deci f este bijectivă.
Același raționament arată că orice funcție de gradul I, f(x) = ax + b cu a ≠ 0, definită de la ℝ la ℝ, este bijectivă. O funcție de gradul al II-lea definită pe tot ℝ nu este niciodată injectivă, pentru că graficul ei este simetric față de axa care trece prin vârf (detalii în funcția de gradul al II-lea).
Funcția inversă
Doar funcțiile bijective sunt inversabile. Inversa f⁻¹ : B → A este funcția care „anulează” acțiunea lui f:
(f ∘ f⁻¹)(y) = y pentru orice y ∈ B, (f⁻¹ ∘ f)(x) = x pentru orice x ∈ A
Metoda de calcul: scrii y = f(x), scoți x în funcție de y și obții f⁻¹(y). La final, poți redenumi variabila: f⁻¹(x) = ….
Graficul lui f⁻¹ este simetricul graficului lui f față de prima bisectoare (dreapta y = x). De aceea funcțiile exponențială și logaritmică, care sunt inverse una alteia, au grafice simetrice față de această dreaptă.
Fie f : (1, +∞) → ℝ, f(x) = ln(x − 1). Arătați că f este bijectivă și determinați inversa.
Rezolvare: Fie y ∈ ℝ. Ecuația ln(x − 1) = y este echivalentă cu x − 1 = eʸ, adică x = eʸ + 1. Cum eʸ > 0, avem x > 1, deci x aparține domeniului. Soluția există și este unică pentru orice y, deci f este bijectivă.
Inversa este f⁻¹ : ℝ → (1, +∞), f⁻¹(x) = eˣ + 1.
Exemplul folosește direct definiția logaritmului; dacă ai nevoie de o recapitulare, vezi Logaritmi: proprietăți și ecuații.
Bijectivitate prin monotonie și continuitate
Pentru funcțiile mai complicate, rezolvarea ecuației f(x) = y nu este posibilă algebric. Folosești atunci două rezultate:
- orice funcție strict monotonă este injectivă;
- o funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele sale la capete (proprietatea lui Darboux), ceea ce dă surjectivitatea.
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ + 3x + 1. Arătați că f este bijectivă.
Rezolvare: f'(x) = 3x² + 3 > 0 pentru orice x ∈ ℝ, deci f este strict crescătoare, prin urmare injectivă.
f este continuă (funcție polinomială), iar limx→−∞ f(x) = −∞ și limx→+∞ f(x) = +∞. Fiind continuă și strict crescătoare, imaginea ei este (−∞, +∞) = ℝ, deci f este surjectivă.
Rezultă că f este bijectivă.
Monotonia cu ajutorul derivatei este explicată pe larg în Monotonie și puncte de extrem, iar limitele la infinit în Limite de funcții. Aceeași idee (funcție strict monotonă ⇒ cel mult o soluție) rezolvă și ecuații precum 3ˣ + 4ˣ = 5ˣ.
Funcții definite pe ramuri
Pentru o funcție cu acoladă, studiezi fiecare ramură și apoi compari imaginile ramurilor. Funcția este injectivă dacă fiecare ramură este injectivă și imaginile ramurilor sunt disjuncte; este surjectivă dacă reuniunea imaginilor este tot codomeniul.
Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 pentru x < 1 și f(x) = 2x pentru x ≥ 1. Arătați că f este bijectivă și determinați inversa.
Rezolvare: Pe (−∞, 1), f(x) = x + 1 este strict crescătoare, cu imaginea (−∞, 2). Pe [1, +∞), f(x) = 2x este strict crescătoare, cu imaginea [2, +∞).
Imaginile sunt disjuncte, iar reuniunea lor este ℝ. Deci f este injectivă și surjectivă, adică bijectivă.
Inversa: pentru y < 2, din y = x + 1 rezultă x = y − 1; pentru y ≥ 2, din y = 2x rezultă x = y/2. Așadar f⁻¹(x) = x − 1 pentru x < 2 și f⁻¹(x) = x/2 pentru x ≥ 2.
Sfat: La inversa unei funcții pe ramuri, condițiile de pe ramuri se schimbă: ele nu mai sunt despre x-ul inițial, ci despre imaginile ramurilor. Aici, pragul x = 1 a devenit pragul 2 = f(1).
Greșeli frecvente
- Demonstrarea injectivității „pe exemple”: faptul că
f(1) ≠ f(2)nu dovedește nimic. Pentru a infirma ajunge un exemplu, pentru a demonstra ai nevoie de un argument general. - Ignorarea codomeniului la surjectivitate.
- Scrierea lui
f⁻¹(x)ca1/f(x). Funcția inversă nu este inversul numeric: pentruf(x) = 3x − 2,f⁻¹(x) = (x + 2)/3, nu1/(3x − 2). - Uitarea verificării că soluția ecuației
f(x) = yaparține domeniului.
Atenție: Compunerea funcțiilor nu este comutativă. Pentru f(x) = 2x + 1 și g(x) = x − 3, (f ∘ g)(x) = 2(x − 3) + 1 = 2x − 5, dar (g ∘ f)(x) = 2x + 1 − 3 = 2x − 2. Când verifici o inversă, calculează ambele compuneri.
Întrebări frecvente
Cum demonstrez că o funcție este injectivă?
Pornești de la f(x₁) = f(x₂) și arăți că x₁ = x₂. Alternativ, arăți că funcția este strict monotonă, de exemplu cu ajutorul derivatei.
Ce funcții au inversă?
Doar funcțiile bijective, adică cele care sunt simultan injective și surjective. Pentru ele, ecuația f(x) = y are exact o soluție pentru orice y din codomeniu.
Cum arăt că o funcție nu este surjectivă?
Găsești o valoare din codomeniu care nu este atinsă. De exemplu, f : ℝ → ℝ, f(x) = x² nu ia valoarea −1, deci nu este surjectivă.