Legătura dintre semnul derivatei și monotonie
Ideea centrală a capitolului este simplă: semnul derivatei îți spune în ce sens „merge” funcția. Pe un interval I, pentru o funcție derivabilă:
f′(x) < 0 pe I (cu excepția eventual a unor puncte izolate) ⇒ f strict descrescătoare pe I
f′(x) = 0 pe I ⇒ f constantă pe I
Rezultatele decurg din teorema lui Lagrange și sunt valabile pe intervale. Pe o reuniune de intervale (de exemplu ℝ \ {0}) trebuie să tratezi fiecare interval separat.
Studiul monotoniei cu derivata este în programa de clasa a XI-a pentru M1, M2 și M3 și apare aproape sigur în prima problemă de la Subiectul al III-lea, de obicei la cerința b). Pentru calculul lui f′ ai nevoie de tabelul de derivate și regulile de derivare.
Puncte de extrem
Un punct x₀ este punct de maxim local dacă f(x) ≤ f(x₀) pentru toți x dintr-o vecinătate a lui x₀, și de minim local dacă f(x) ≥ f(x₀). Valoarea f(x₀) se numește valoare extremă (maximul sau minimul).
Atenție, reciproca este falsă: pentru f(x) = x³, f′(0) = 0, dar 0 nu este punct de extrem — funcția crește și înainte, și după. Criteriul corect este schimbarea semnului derivatei:
- f′ trece din + în − în
x₀⇒x₀este punct de maxim; - f′ trece din − în + în
x₀⇒x₀este punct de minim; - f′ nu schimbă semnul ⇒
x₀nu este punct de extrem.
Tabelul de variație, pas cu pas
- Stabilește domeniul de definiție.
- Calculează
f′(x)și adu-l la o formă factorizată (produs sau cât de factori simpli). - Rezolvă
f′(x) = 0și păstrează doar soluțiile din domeniu. - Stabilește semnul lui f′ pe fiecare interval dintre rădăcini. Factorii care sunt mereu pozitivi (
eˣ,x² + 1,xpe(0, +∞), un pătrat la numitor) nu influențează semnul. - Completează tabelul: rândul lui x, rândul lui f′, rândul lui f cu săgeți și valorile în punctele critice.
- Scrie concluzia în cuvinte: intervalele de monotonie și punctele de extrem.
Studiați monotonia și determinați punctele de extrem pentru f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 3x + 2.
Rezolvare. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), cu rădăcinile −1 și 1. Semnul trinomului: pozitiv în afara rădăcinilor, negativ între ele. f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4, f(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
| x | −∞ | −1 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + + + | 0 | − − − | 0 | + + + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 4 (max) | ↘ | 0 (min) | ↗ | +∞ |
Concluzie: f este crescătoare pe (−∞, −1] și pe [1, +∞), descrescătoare pe [−1, 1]; x = −1 este punct de maxim (f(−1) = 4), iar x = 1 punct de minim (f(1) = 0).
Bonus — numărul de soluții: ecuația f(x) = m are trei soluții reale distincte exact când dreapta y = m taie graficul de trei ori, adică pentru m ∈ (0, 4).
Demonstrarea inegalităților cu ajutorul extremului
Aceasta este probabil cea mai frecventă cerință c) din problema cu derivate. Ideea: dacă x₀ este punct de minim global al lui f, atunci f(x) ≥ f(x₀) pentru orice x din domeniu. Aduci inegalitatea de demonstrat la forma f(x) ≥ f(x₀), pentru o funcție f studiată deja.
Fie f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = x − ln x. Arătați că ln x ≤ x − 1, pentru orice x > 0.
Rezolvare. f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. Pe (0, +∞) numitorul e pozitiv, deci semnul lui f′ este semnul lui x − 1: negativ pe (0, 1), pozitiv pe (1, +∞). Așadar f descrește pe (0, 1], crește pe [1, +∞), iar 1 este punct de minim global.
Rezultă f(x) ≥ f(1) = 1, adică x − ln x ≥ 1, echivalent cu ln x ≤ x − 1. Egalitate are loc doar pentru x = 1.
Fie g(x) = eˣ − x − 1, x ∈ ℝ. g′(x) = eˣ − 1, negativ pentru x < 0 și pozitiv pentru x > 0. Deci 0 este punct de minim global și g(x) ≥ g(0) = 0, adică eˣ ≥ x + 1 pentru orice x real.
Fie h : (0, +∞) → ℝ, h(x) = ln x / x.
a) h′(x) = (1 − ln x)/x². Numitorul e pozitiv, iar 1 − ln x > 0 ⇔ x < e. Deci h crește pe (0, e] și descrește pe [e, +∞).
b) x = e este punct de maxim global, cu h(e) = 1/e. Așadar ln x / x ≤ 1/e pentru orice x > 0, cu egalitate doar în e.
c) Pentru x = π ≠ e: ln π / π < 1/e ⇔ e·ln π < π ⇔ ln(πe) < ln(eπ) ⇔ πe < eπ, pentru că ln este strict crescătoare.
Sfat: Dacă cerința c) cere o inegalitate și cerința b) ți-a cerut monotonia, aproape sigur inegalitatea vine din extremul găsit la b). Caută în inegalitate funcția f „ascunsă” și valoarea ei minimă sau maximă.
Alte aplicații ale monotoniei
- Injectivitate: o funcție strict monotonă este injectivă (legătura cu funcțiile bijective).
- Unicitatea soluției: dacă f este strict monotonă pe un interval, ecuația
f(x) = 0are cel mult o soluție acolo; existența o obții din continuitate și schimbarea de semn. - Mulțimea valorilor: din tabelul de variație, împreună cu limitele la capete, citești imaginea funcției.
- Schițarea graficului: combinată cu asimptotele și cu convexitatea, monotonia îți dă forma completă a graficului.
Un caz particular util: punctele în care f′ se anulează sunt și punctele în care tangenta la grafic este orizontală.
Greșeli frecvente
- „f′(x₀) = 0, deci x₀ e extrem.” Fără schimbare de semn nu ai extrem (vezi
x³în 0). - Rădăcini ale lui f′ din afara domeniului. Pentru o funcție definită pe
(0, +∞), o rădăcină negativă a lui f′ se ignoră. - Monotonie „pe reuniune”.
1/xeste descrescătoare pe(−∞, 0)și pe(0, +∞), dar nu peℝ*:−1 < 1și1/(−1) < 1/1. - Semnul stabilit „după ochi”. Justifică semnul fiecărui factor; testarea unei valori din fiecare interval este o verificare bună.
- Confuzia punct de extrem / valoare extremă. Punctul este x₀ (o abscisă), valoarea este f(x₀).
Întrebări frecvente
Dacă derivata se anulează într-un punct, este acel punct un extrem?
Nu neapărat. Punctul este de extrem doar dacă derivata își schimbă semnul în el. De exemplu, pentru f(x) = x³ avem f′(0) = 0, dar f este crescătoare pe tot ℝ, deci 0 nu este punct de extrem.
Cum demonstrez o inegalitate folosind derivata?
Muți totul într-un membru și definești o funcție f, astfel încât inegalitatea să devină f(x) ≥ 0 sau f(x) ≤ 0. Studiezi monotonia lui f, găsești minimul sau maximul global, iar inegalitatea rezultă din f(x) ≥ min f sau f(x) ≤ max f.
Ce trebuie să conțină tabelul de variație?
Rândul lui x cu capetele domeniului și rădăcinile derivatei, rândul cu semnul lui f′ pe fiecare interval și rândul lui f cu săgeți de creștere sau descreștere, valorile în punctele critice și, eventual, limitele la capete.