Relațiile lui Viète pentru gradul al II-lea
Dacă x₁ și x₂ sunt rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0, atunci:
P = x₁ · x₂ = c/a
Relațiile provin din forma descompusă ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂): desfaci parantezele și identifici coeficienții. Sunt valabile întotdeauna, inclusiv când rădăcinile sunt egale sau complexe — doar că, în acest din urmă caz, rădăcinile nu mai sunt numere reale.
De reținut că în suma S apare un minus, iar în produsul P nu. Pentru x² − 5x + 3 = 0: S = 5, P = 3.
Expresii simetrice în funcție de S și P
O expresie care nu se schimbă dacă inversezi x₁ cu x₂ se numește simetrică și se poate scrie întotdeauna cu S și P. Iată-le pe cele care apar cel mai des:
| Expresie | În funcție de S și P |
|---|---|
x₁² + x₂² | S² − 2P |
1/x₁ + 1/x₂ | S/P (P ≠ 0) |
x₁³ + x₂³ | S³ − 3SP |
x₁²x₂ + x₁x₂² | SP |
(x₁ − x₂)² | S² − 4P |
x₁/x₂ + x₂/x₁ | (S² − 2P)/P |
(x₁ + 1)(x₂ + 1) | P + S + 1 |
Dacă ecuația are coeficienți reali și rădăcini reale, distanța dintre rădăcini se scrie cu discriminantul:
Sfat: nu memora tabelul mecanic. Toate formulele vin din identitatea (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² și din aducerea la același numitor. Dacă știi să le deduci în 20 de secunde, nu le poți „uita” în examen.
Formarea ecuației din S și P
Invers, două numere cu suma S și produsul P sunt rădăcinile ecuației:
Este calea cea mai rapidă de a scrie o ecuație cu rădăcini date sau de a găsi două numere când le știi suma și produsul.
Semnul rădăcinilor
Pentru o ecuație cu coeficienți reali și Δ ≥ 0, semnele lui S și P spun totul despre semnele rădăcinilor, fără să le calculezi:
P < 0— rădăcinile au semne contrare (în acest cazΔ > 0automat);P > 0șiS > 0— ambele rădăcini sunt pozitive;P > 0șiS < 0— ambele rădăcini sunt negative.
De exemplu, x² − 7x + 10 = 0 are Δ = 9 > 0, S = 7 > 0, P = 10 > 0, deci ambele rădăcini sunt pozitive (sunt 2 și 5). Legătura cu graficul și cu vârful parabolei este explicată în Funcția de gradul al II-lea.
Gradul al III-lea (M1)
La M1, relațiile lui Viète apar frecvent la polinoame. Pentru ax³ + bx² + cx + d = 0, cu rădăcinile x₁, x₂, x₃:
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = −d/a
Semnele alternează: minus, plus, minus. Notând cu S₁, S₂, S₃ cele trei sume, cele mai folosite expresii sunt:
1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = S₂/S₃ (S₃ ≠ 0)
Exerciții rezolvate
Fie x₁, x₂ soluțiile ecuației x² − 5x + 3 = 0. Calculați x₁² + x₂² și 1/x₁ + 1/x₂.
Rezolvare: S = 5, P = 3. Atunci x₁² + x₂² = S² − 2P = 25 − 6 = 19 și 1/x₁ + 1/x₂ = S/P = 5/3. Observă că rădăcinile, (5 ± √13)/2, nu au fost necesare.
Determinați numerele reale m pentru care soluțiile reale ale ecuației x² − mx + 2 = 0 verifică x₁² + x₂² = 5.
Rezolvare: S = m, P = 2, deci x₁² + x₂² = m² − 4 = 5, de unde m = 3 sau m = −3.
Verificăm că rădăcinile sunt reale: Δ = m² − 8 = 1 > 0 în ambele cazuri. Pentru m = 3 rădăcinile sunt 1 și 2, pentru m = −3 sunt −1 și −2; în ambele situații 1 + 4 = 5.
Scrieți o ecuație de gradul al II-lea cu soluțiile 2 și −3.
Rezolvare: S = −1, P = −6, deci ecuația este x² + x − 6 = 0. Verificare: 4 + 2 − 6 = 0 și 9 − 3 − 6 = 0.
Fie x₁, x₂ soluțiile ecuației x² − 3x + 1 = 0. Calculați x₁³ + x₂³.
Rezolvare: S = 3, P = 1. x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 27 − 9 = 18.
Calculați |x₁ − x₂| pentru ecuația 2x² − 6x + 1 = 0.
Rezolvare: Δ = 36 − 8 = 28, deci |x₁ − x₂| = √28 / 2 = 2√7 / 2 = √7. Cu S și P: (x₁ − x₂)² = S² − 4P = 9 − 2 = 7, același rezultat.
Fie x₁, x₂, x₃ rădăcinile polinomului f = X³ − 2X² + 3X − 4. Calculați x₁² + x₂² + x₃² și arătați că polinomul nu are toate rădăcinile reale.
Rezolvare: S₁ = 2, S₂ = 3, S₃ = 4. Atunci x₁² + x₂² + x₃² = S₁² − 2S₂ = 4 − 6 = −2.
Dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi cel puțin 0. Cum ea este −2 < 0, cel puțin o rădăcină nu este reală. Pe același drum, 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = S₂/S₃ = 3/4.
Greșeli frecvente
Semnul sumei. S = −b/a, nu b/a. Pentru x² − 5x + 3, suma este 5, nu −5.
Rădăcini reale presupuse fără verificare. Pentru x² − mx + 5 = 0 cu condiția x₁² + x₂² = 6 obții m² − 10 = 6, adică m = ±4. Dar Δ = 16 − 20 = −4 < 0: rădăcinile sunt 2 ± i (pentru m = 4), deci nu sunt reale. Dacă enunțul cere rădăcini reale, problema nu are soluție; dacă lucrezi în ℂ, valorile sunt corecte. Verifică întotdeauna Δ când enunțul vorbește de soluții reale.
Coeficientul a uitat. Pentru 2x² − 6x + 1 = 0, produsul este 1/2, nu 1. Împarte la a înainte de orice calcul.
Semnele la gradul al III-lea. Produsul rădăcinilor este −d/a. Reține alternanța „minus, plus, minus”.
Relațiile lui Viète leagă mai multe capitole: funcția de gradul al II-lea, numerele complexe (rădăcinile conjugate) și polinoamele de la M1. Ele se găsesc pe orice fișă de recapitulare, de exemplu în formulele pentru M1.
Întrebări frecvente
Care sunt relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al II-lea?
Pentru ax² + bx + c = 0 cu rădăcinile x₁ și x₂: x₁ + x₂ = −b/a și x₁ · x₂ = c/a.
Cum calculez x₁² + x₂² fără să rezolv ecuația?
Folosești identitatea x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = S² − 2P, unde S și P se obțin direct din coeficienți prin relațiile lui Viète.
Care sunt relațiile lui Viète pentru gradul al III-lea?
Pentru ax³ + bx² + cx + d = 0: x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a și x₁x₂x₃ = −d/a. Semnele alternează: minus, plus, minus.