Definiție și coeficienți
O funcție f : ℝ → ℝ de forma
se numește funcție de gradul I. Coeficientul a se numește pantă (sau coeficient unghiular) și controlează „înclinarea” graficului, iar b este ordonata la origine, adică valoarea funcției în 0: f(0) = b.
Dacă a = 0, funcția devine constantă, f(x) = b, și nu mai este de gradul I — o observație importantă la exercițiile cu parametru.
Graficul și intersecția cu axele
Graficul funcției de gradul I este o dreaptă. Ca să o desenezi îți ajung două puncte, iar cele mai comode sunt intersecțiile cu axele:
Gf ∩ Ox: f(x) = 0 ⇒ punctul (−b/a, 0)
Un punct M(x₀, y₀) aparține graficului dacă și numai dacă f(x₀) = y₀. Această echivalență, aparent banală, este baza a jumătate dintre exercițiile de pe acest capitol.
Două grafice y = ax + b și y = a′x + b′ sunt drepte paralele dacă au aceeași pantă (a = a′, b ≠ b′) și sunt perpendiculare dacă a·a′ = −1. Legătura cu geometria analitică este explicată în Ecuația dreptei.
Monotonia
Semnul pantei decide totul:
a < 0 ⇒ f este strict descrescătoare pe ℝ
Justificarea, dacă ți se cere: pentru x₁ < x₂, f(x₂) − f(x₁) = a(x₂ − x₁), care are semnul lui a. Mai târziu, la clasa a XI-a, vei regăsi aceeași idee prin derivată: f′(x) = a (vezi Monotonie și puncte de extrem).
O consecință utilă: o funcție de gradul I este bijectivă, deci inversabilă. Inversa lui f(x) = ax + b este f⁻¹(x) = (x − b)/a — mai multe în Funcții injective, surjective și bijective.
Semnul funcției de gradul I
Funcția se anulează în x₀ = −b/a. Regula de semn se reține simplu: „semnul contrar lui a” la stânga rădăcinii, „semnul lui a” la dreapta.
| x | −∞ … −b/a | −b/a | −b/a … +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) | semn contrar lui a | 0 | semnul lui a |
De exemplu, pentru f(x) = −2x + 6 rădăcina este 3, iar a = −2 < 0: f este pozitivă pe (−∞, 3) și negativă pe (3, +∞). Tabelul acesta este exact instrumentul de care ai nevoie și la inecuațiile cu produse sau câturi, și la explicitarea modulelor.
Tipuri de cerințe la BAC
- determinarea lui a și b când se cunosc două valori ale funcției sau două puncte de pe grafic;
- verificarea apartenenței unui punct la grafic sau determinarea unui parametru din această condiție;
- coordonatele punctului de intersecție a două grafice;
- aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate;
- sume de forma
f(1) + f(2) + … + f(n); - compunerea funcțiilor și ecuații de tipul
(f ∘ f)(x) = k; - monotonie cu parametru și rezolvarea de inecuații.
Exerciții rezolvate
Determinați funcția de gradul I pentru care f(1) = 3 și f(−1) = −1.
Rezolvare: din f(x) = ax + b obținem sistemul a + b = 3, −a + b = −1. Adunând ecuațiile: 2b = 2, deci b = 1 și a = 2. Așadar f(x) = 2x + 1.
Fie f(x) = 2x − 4. Calculați aria triunghiului determinat de graficul lui f și axele de coordonate.
Rezolvare: intersecția cu Ox: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2, punctul A(2, 0). Intersecția cu Oy: f(0) = −4, punctul B(0, −4). Triunghiul OAB este dreptunghic în O, cu catetele OA = 2 și OB = 4 (lungimile sunt pozitive, chiar dacă ordonata este −4). Aria este 2·4/2 = 4.
Determinați numărul real m pentru care punctul A(m, m + 3) aparține graficului funcției f(x) = 2x − 1.
Rezolvare: condiția este f(m) = m + 3, adică 2m − 1 = m + 3, deci m = 4. Verificare: A(4, 7) și f(4) = 7.
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f(x) = 3x − 2 și g(x) = −x + 6.
Rezolvare: rezolvăm f(x) = g(x): 3x − 2 = −x + 6 ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2. Ordonata este f(2) = 4 (și g(2) = 4, ca verificare). Punctul de intersecție este (2, 4).
Pentru f(x) = 2x + 1, calculați f(1) + f(2) + … + f(10).
Rezolvare: grupăm: 2(1 + 2 + … + 10) + 10·1 = 2·55 + 10 = 120. Altfel: valorile 3, 5, …, 21 formează o progresie aritmetică cu 10 termeni, iar suma este (3 + 21)·10/2 = 120.
Pentru f(x) = 2x + 1, rezolvați ecuația (f ∘ f)(x) = 11.
Rezolvare: (f ∘ f)(x) = f(f(x)) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3. Ecuația 4x + 3 = 11 are soluția x = 2. Verificare: f(2) = 5 și f(5) = 11.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care funcția f(x) = (m − 2)x + 3 este strict descrescătoare.
Rezolvare: f este de gradul I pentru m ≠ 2 și este strict descrescătoare dacă panta este negativă: m − 2 < 0, adică m ∈ (−∞, 2). Pentru m = 2 funcția este constantă, deci nu este strict descrescătoare.
Determinați mulțimea valorilor funcției f : [−1, 2] → ℝ, f(x) = −3x + 2.
Rezolvare: panta este −3 < 0, deci f este strict descrescătoare. Valoarea maximă se atinge în capătul stâng, f(−1) = 5, iar cea minimă în capătul drept, f(2) = −4. Cum graficul este un segment continuu, mulțimea valorilor este [−4, 5]. Observă ordinea: la o funcție descrescătoare, capetele intervalului de valori se „inversează”.
Greșeli frecvente
Confuzia coordonatelor la intersecții. Intersecția cu Ox se obține punând y = 0 (adică f(x) = 0), iar cea cu Oy punând x = 0. Mulți elevi le inversează sub presiunea timpului.
Lungimi negative. La arii, folosește valorile absolute ale coordonatelor. O arie nu poate fi negativă.
Schimbarea sensului inegalității. La inecuația −2x + 6 > 0, împărțirea la −2 schimbă sensul: x < 3. Uitarea acestui pas este una dintre cele mai frecvente greșeli la BAC.
Sfat: la orice exercițiu cu grafice, fă o schiță rapidă pe ciornă. O dreaptă desenată aproximativ îți arată imediat dacă semnul unei coordonate sau monotonia obținută are sens. Funcția de gradul I este și punctul de plecare pentru funcția de gradul al II-lea, unde graficul devine parabolă.
Întrebări frecvente
Cum aflu unde intersectează graficul funcției de gradul I axele?
Cu axa Oy, în punctul (0, b), pentru că f(0) = b. Cu axa Ox, în punctul (−b/a, 0), obținut din ecuația f(x) = 0.
Când este funcția f(x) = ax + b crescătoare?
Funcția de gradul I este strict crescătoare dacă a > 0 și strict descrescătoare dacă a < 0. Pentru a = 0 funcția este constantă și nu mai este de gradul I.
Cum determin funcția de gradul I dacă știu două puncte de pe grafic?
Înlocuiești coordonatele celor două puncte în f(x) = ax + b și rezolvi sistemul de două ecuații cu necunoscutele a și b.