Acasă › Articole › Analiză

Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Ecuația tangentei este una dintre cele mai „sigure” cerințe de la Subiectul al III-lea: formula este mereu aceeași, iar variațiile se reduc la a afla abscisa punctului de tangență. Iată toate tipurile, rezolvate pas cu pas.

Publicat pe 30 octombrie 2026 · 7 minute de citit

Formula tangentei

Dacă f este derivabilă în punctul x₀, graficul ei are în punctul A(x₀, f(x₀)) o tangentă a cărei pantă este chiar derivata. Ecuația se scrie cu formula dreptei care trece printr-un punct și are o pantă dată:

y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀)

Ai nevoie, deci, de exact trei numere: x₀ (abscisa punctului de tangență), f(x₀) (ordonata lui) și f′(x₀) (panta). Toată dificultatea exercițiilor de BAC constă în a afla x₀ atunci când nu este dat direct.

Ecuația tangentei apare la toate cele trei programe (M1, M2, M3), ca una dintre cerințele primei probleme de la Subiectul al III-lea. Ea leagă două capitole: derivatele (pentru pantă) și ecuația dreptei din geometria analitică (pentru forma finală).

Metoda în trei pași

  1. Calculezi f(x₀). Înlocuiești în funcție, nu în derivată.
  2. Calculezi f′(x₀). Derivezi, apoi înlocuiești.
  3. Scrii ecuația și o aduci la forma y = mx + n (sau la forma cerută în enunț).
Exemplul 1 — punctul este dat

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x³ − 2x + 1 în punctul de abscisă x₀ = 1.

Rezolvare. f(1) = 1 − 2 + 1 = 0. f′(x) = 3x² − 2, deci f′(1) = 1.

Tangenta: y − 0 = 1·(x − 1), adică y = x − 1.

Sfat: Verifică rezultatul înlocuind x = x₀ în ecuația tangentei: trebuie să obții f(x₀). În Exemplul 1, 1 − 1 = 0 = f(1). Verificarea durează câteva secunde și prinde majoritatea greșelilor de calcul.

Tipuri de cerințe la BAC

1. Tangenta în punctul de intersecție cu o axă

„Punctul de intersecție cu axa Oy” înseamnă x₀ = 0. „Punctul de intersecție cu axa Ox” înseamnă că x₀ este soluția ecuației f(x) = 0, iar f(x₀) = 0.

Exemplul 2 — intersecția cu Oy

Fie f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = (x + 1)/(x − 1). Scrieți ecuația tangentei în punctul în care graficul intersectează axa Oy.

Rezolvare. x₀ = 0, f(0) = −1. f′(x) = ((x − 1) − (x + 1))/(x − 1)² = −2/(x − 1)², deci f′(0) = −2.

Tangenta: y + 1 = −2x, adică y = −2x − 1.

2. Tangenta paralelă sau perpendiculară pe o dreaptă dată

Aici necunoscuta este x₀, iar informația vine prin pantă:

tangenta ∥ d (panta m) ⇔ f′(x₀) = m
tangenta ⊥ d (panta m ≠ 0) ⇔ f′(x₀)·m = −1
tangenta ∥ Ox (orizontală) ⇔ f′(x₀) = 0

Amintește-ți că dreapta ax + by + c = 0, cu b ≠ 0, are panta −a/b.

Exemplul 3 — tangentă paralelă

Determinați ecuația tangentei la graficul lui f(x) = ln x, paralelă cu dreapta y = 2x + 5.

Rezolvare. Panta dreptei este 2, deci f′(x₀) = 1/x₀ = 2 și x₀ = 1/2. f(1/2) = ln(1/2) = −ln 2.

Tangenta: y + ln 2 = 2(x − 1/2), adică y = 2x − 1 − ln 2.

Exemplul 4 — tangentă perpendiculară

Determinați tangenta la graficul lui f(x) = x² perpendiculară pe dreapta x + 4y = 0.

Rezolvare. Dreapta are panta −1/4, deci tangenta trebuie să aibă panta 4 (pentru că 4·(−1/4) = −1). f′(x₀) = 2x₀ = 4 ⇒ x₀ = 2, f(2) = 4.

Tangenta: y − 4 = 4(x − 2), adică y = 4x − 4.

Exemplul 5 — tangente orizontale

Determinați punctele de pe graficul lui f(x) = x³ − 3x² în care tangenta este paralelă cu axa Ox.

Rezolvare. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x ∈ {0, 2}. Punctele sunt (0, 0) și (2, −4), cu tangentele y = 0, respectiv y = −4.

Nu întâmplător, acestea sunt exact punctele de extrem ale funcției — vezi monotonie și puncte de extrem.

3. Tangenta care trece printr-un punct exterior graficului

Aceasta este varianta cea mai „grea” și apare de obicei la cerința c). Punctul dat nu este punctul de tangență, deci nu poți înlocui direct. Metoda:

  1. Notezi cu a abscisa (necunoscută) a punctului de tangență și scrii tangenta generală: y = f(a) + f′(a)(x − a).
  2. Impui ca punctul dat să verifice această ecuație și obții o ecuație în a.
  3. Pentru fiecare soluție a, scrii tangenta corespunzătoare.
Exemplul 6 — tangenta prin origine

Determinați tangenta la graficul lui f(x) = eˣ care trece prin originea O(0, 0).

Rezolvare. Tangenta în punctul de abscisă a: y = eᵃ + eᵃ(x − a). Punând x = 0, y = 0: 0 = eᵃ(1 − a). Cum eᵃ > 0, obținem a = 1.

Tangenta: y = e + e(x − 1), adică y = ex.

Exemplul 7 — două tangente din același punct

Fie f(x) = x³ − 3x. Determinați tangentele la grafic care trec prin punctul P(2, 2).

Rezolvare. f′(x) = 3x² − 3. Condiția ca P să fie pe tangenta din a: 2 = a³ − 3a + (3a² − 3)(2 − a). Dezvoltând: 2 = −2a³ + 6a² − 6, adică a³ − 3a² + 4 = 0, care se factorizează (a + 1)(a − 2)² = 0.

Pentru a = 2: f(2) = 2, f′(2) = 9, tangenta y = 9x − 16 (aici P este chiar pe grafic). Pentru a = −1: f(−1) = 2, f′(−1) = 0, tangenta y = 2.

Ambele drepte trec prin P: 9·2 − 16 = 2. Exemplul arată că, chiar dacă punctul se află pe grafic, prin el poate trece și o tangentă dusă în alt punct.

Panta și unghiul tangentei

Panta este tangenta trigonometrică a unghiului α format de tangentă cu sensul pozitiv al axei Ox: f′(x₀) = tg α. De aici:

Valorile tg 45° = 1 și tg 60° = √3 le găsești în tabelul formulelor trigonometrice. De exemplu, tangenta la graficul lui √x în x₀ = 4 are panta 1/(2√4) = 1/4 și ecuația y = x/4 + 1.

Greșeli frecvente

Tangenta este și instrumentul din spatele convexității: o funcție convexă are graficul deasupra oricărei tangente. Cu acest rezultat se demonstrează unele inegalități — de exemplu eˣ ≥ x + 1 spune că graficul exponențialei stă deasupra tangentei sale în 0.

Întrebări frecvente

Care este formula ecuației tangentei la grafic?

Tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x₀ are ecuația y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀). Ai nevoie de valoarea funcției și de valoarea derivatei în x₀.

Cum aflu punctul în care tangenta este paralelă cu o dreaptă dată?

Două drepte paralele au aceeași pantă. Afli panta m a dreptei date și rezolvi ecuația f′(x₀) = m. Soluțiile din domeniu sunt abscisele punctelor de tangență.

Ce înseamnă tangentă paralelă cu axa Ox?

Înseamnă că tangenta este orizontală, deci are panta 0. Rezolvi ecuația f′(x) = 0, iar tangentele au ecuațiile y = f(x₀) pentru fiecare soluție x₀.

Citește și