Noțiuni de bază
Un vector este caracterizat de direcție, sens și lungime (modul). Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul, indiferent unde sunt desenați. În acest articol notăm vectorii cu săgeată: u⃗, AB⃗.
În reperul cartezian xOy, vectorii i⃗ și j⃗ sunt versorii axelor (lungime 1, pe direcțiile Ox și Oy). Orice vector se scrie unic sub forma u⃗ = x·i⃗ + y·j⃗, iar (x, y) sunt coordonatele lui.
|u⃗| = √(x² + y²), pentru u⃗ = x·i⃗ + y·j⃗
AB = |AB⃗| = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Vectorii apar frecvent la Subiectul I, în exercițiile de geometrie analitică. Operațiile de bază sunt în programa de clasa a IX-a la toate programele; produsul scalar apare mai ales la M1 și M2. Dacă vrei să vezi locul acestor exerciții în foaia de examen, citește structura subiectului de BAC.
Operații cu vectori
Pentru u⃗ = x₁·i⃗ + y₁·j⃗, v⃗ = x₂·i⃗ + y₂·j⃗ și k ∈ ℝ:
u⃗ − v⃗ = (x₁ − x₂)·i⃗ + (y₁ − y₂)·j⃗
k·u⃗ = kx₁·i⃗ + ky₁·j⃗
Geometric, suma se construiește cu regula triunghiului (AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, relația lui Chasles) sau cu regula paralelogramului (pentru paralelogramul ABCD, AB⃗ + AD⃗ = AC⃗). Înmulțirea cu un scalar k păstrează direcția, schimbă lungimea de |k| ori și inversează sensul dacă k < 0.
Mijlocul M al segmentului AB și centrul de greutate G al triunghiului ABC au coordonatele:
G((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3)
Coliniaritatea a doi vectori
Doi vectori nenuli sunt coliniari dacă au aceeași direcție, adică unul este un multiplu al celuilalt: u⃗ = k·v⃗. În coordonate:
(echivalent, dacă x₂, y₂ ≠ 0: x₁/x₂ = y₁/y₂)
Condiția este echivalentă cu paralelismul dreptelor suport, de aceea se leagă direct de ecuația dreptei: punctele A, B, C sunt coliniare exact când AB⃗ și AC⃗ sunt coliniari.
Sfat: preferă forma x₁y₂ − x₂y₁ = 0 față de egalitatea rapoartelor. Funcționează și atunci când o coordonată este zero, situație în care rapoartele nu au sens.
Produsul scalar și unghiul
Produsul scalar a doi vectori este un număr, definit geometric și calculat în coordonate astfel:
u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²)·√(x₂² + y₂²))
u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗ · v⃗ = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
Mai reține că u⃗ · u⃗ = |u⃗|², i⃗ · i⃗ = j⃗ · j⃗ = 1 și i⃗ · j⃗ = 0. Semnul produsului scalar îți spune tipul unghiului: pozitiv pentru unghi ascuțit, zero pentru unghi drept, negativ pentru unghi obtuz. Valorile lui cos θ pe care le recunoști imediat sunt cele din tabelul trigonometric.
Vectori în triunghi și paralelogram
O parte din exerciții nu dau coordonate, ci cer relații vectoriale într-o figură. Câteva relații pe care merită să le ai la îndemână:
- dacă
Meste mijlocul luiBC, atunciAB⃗ + AC⃗ = 2·AM⃗; - dacă
Geste centrul de greutate al triunghiuluiABC, atunciGA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗; - în paralelogramul
ABCDcu centrulO:OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗ = 0⃗șiAB⃗ = DC⃗.
Strategia pentru astfel de cerințe: descompui fiecare vector prin relația lui Chasles, trecând prin punctele care îți convin, până ajungi la vectori despre care știi ceva.
Exerciții rezolvate
Determinați numărul real a pentru care vectorii u⃗ = 2i⃗ + 3j⃗ și v⃗ = (a − 1)i⃗ + 6j⃗ sunt coliniari.
Rezolvare: Condiția x₁y₂ − x₂y₁ = 0 devine 2·6 − 3(a − 1) = 0, adică 12 − 3a + 3 = 0, deci a = 5. Verificare: v⃗ = 4i⃗ + 6j⃗ = 2·u⃗.
Determinați m ∈ ℝ pentru care vectorii u⃗ = 3i⃗ − 4j⃗ și v⃗ = 2i⃗ + m·j⃗ sunt perpendiculari.
Rezolvare: u⃗ · v⃗ = 3·2 + (−4)·m = 6 − 4m. Din 6 − 4m = 0 obținem m = 3/2.
Calculați măsura unghiului dintre vectorii u⃗ = i⃗ + √3·j⃗ și v⃗ = 2i⃗.
Rezolvare: u⃗ · v⃗ = 1·2 + √3·0 = 2, |u⃗| = √(1 + 3) = 2, |v⃗| = 2. Atunci cos θ = 2/(2·2) = 1/2, deci θ = 60° (adică π/3).
În reperul xOy se consideră punctele A(1, 2), B(3, 6) și C(5, 0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel și determinați coordonatele centrului său de greutate.
Rezolvare: AB⃗ = 2i⃗ + 4j⃗, AC⃗ = 4i⃗ − 2j⃗. Produsul scalar: 2·4 + 4·(−2) = 0, deci AB ⊥ AC și unghiul A este drept.
AB = √(4 + 16) = 2√5 și AC = √(16 + 4) = 2√5, deci AB = AC: triunghiul este dreptunghic isoscel. Aria lui este AB·AC/2 = 20/2 = 10.
Centrul de greutate: G((1 + 3 + 5)/3, (2 + 6 + 0)/3) = G(3, 8/3).
Determinați valorile reale ale lui m pentru care vectorul u⃗ = 3i⃗ + m·j⃗ are modulul egal cu 5.
Rezolvare: |u⃗| = √(9 + m²) = 5 ⇔ 9 + m² = 25 ⇔ m² = 16 ⇔ m ∈ {−4, 4}. Ambele valori sunt soluții.
Fie triunghiul ABC și M mijlocul laturii BC. Arătați că AB⃗ + AC⃗ = 2·AM⃗.
Rezolvare: Cu relația lui Chasles: AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ și AC⃗ = AM⃗ + MC⃗. Adunând: AB⃗ + AC⃗ = 2·AM⃗ + (MB⃗ + MC⃗). Cum M este mijlocul lui BC, vectorii MB⃗ și MC⃗ sunt opuși, deci suma lor este 0⃗.
Greșeli frecvente
- Ordinea scăderii:
AB⃗are coordonatele „B minus A”, nu „A minus B”. Inversarea dă vectorul opus. - Confuzia coliniar–perpendicular: la coliniaritate ai produsul „în cruce”
x₁y₂ − x₂y₁, la perpendicularitate produsul „pe aceeași poziție”x₁x₂ + y₁y₂. - Modulul fără radical:
|3i⃗ + 4j⃗| = 5, nu25. - Pierderea unei soluții la ecuații de tipul
m² = 16: sunt două valori. - Produs scalar scris ca vector: rezultatul lui
u⃗ · v⃗este un număr; nu îi atașai⃗sauj⃗.
Vectorii sunt baza întregii geometrii analitice de la BAC. După ce le stăpânești, continuă cu ecuația dreptei, pantă și drepte perpendiculare, iar pentru calcule în triunghiuri fără coordonate vezi teorema sinusurilor și a cosinusului. O listă de exerciții rapide de tipul acesta găsești și în Cum să rezolvi rapid Subiectul I.
Întrebări frecvente
Când sunt doi vectori coliniari?
Vectorii u = x₁i + y₁j și v = x₂i + y₂j sunt coliniari dacă și numai dacă x₁y₂ − x₂y₁ = 0. Când coordonatele lui v sunt nenule, condiția se scrie ca egalitatea de rapoarte x₁/x₂ = y₁/y₂.
Când sunt doi vectori perpendiculari?
Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, adică x₁x₂ + y₁y₂ = 0.
Ce este produsul scalar: un număr sau un vector?
Produsul scalar a doi vectori este un număr real, nu un vector. Se calculează fie cu coordonatele, x₁x₂ + y₁y₂, fie cu modulele și unghiul dintre vectori, |u|·|v|·cos θ.