Definiția continuității într-un punct
Intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul ei poate fi desenat „fără să ridici creionul de pe foaie”. La BAC însă ai nevoie de definiția riguroasă, pentru că doar ea se punctează. Fie f : D → ℝ și a ∈ D (punctul trebuie să fie în domeniu!).
Practic, într-un punct a din interiorul domeniului, verifici trei valori și arăți că sunt egale:
f continuă în a ⇔ ls(a) = ld(a) = f(a)
Funcția este continuă pe D dacă e continuă în fiecare punct al lui D. Continuitatea face parte din analiza de clasa a XI-a și este prezentă la toate programele (M1, M2, M3). Ea apare rar ca problemă de sine stătătoare, dar este cerința a) clasică pentru funcțiile definite pe ramuri și o condiție necesară pentru derivabilitate și pentru existența primitivelor.
Funcțiile elementare sunt continue
Un rezultat care îți scutește mult timp: funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiție. Aici intră polinoamele, funcțiile raționale, radicalii, funcțiile exponențiale și logaritmice, funcțiile trigonometrice și inversele lor. În plus, suma, diferența, produsul, câtul (cu numitor nenul) și compunerea unor funcții continue sunt tot continue.
Consecința practică: la o funcție cu acoladă, fiecare ramură este continuă pe intervalul ei deschis, iar singurele puncte care trebuie studiate sunt punctele de legătură dintre ramuri. Pe foaie scrii explicit acest argument — de exemplu: „pe (−∞, 1) și pe (1, +∞), f este continuă, fiind exprimată prin funcții elementare; rămâne de studiat continuitatea în x = 1.”
Funcții cu acoladă: metoda pas cu pas
- Identifici punctele de legătură (de obicei unul sau două).
- Calculezi limita la stânga folosind ramura din stânga, limita la dreapta folosind ramura din dreapta și valoarea funcției folosind ramura care conține semnul „=”.
- Impui egalitatea celor trei valori și rezolvi ecuația în parametru.
- Concluzionezi clar: „pentru a = …, f este continuă pe ℝ”.
Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + a dacă x ≤ 1 și f(x) = 2x + 3 dacă x > 1. Determinați a astfel încât f să fie continuă pe ℝ.
Rezolvare. Pe (−∞, 1) și pe (1, +∞), f este continuă (funcții polinomiale). În x = 1:
ls(1) = limx↗1 (x² + a) = 1 + a = f(1); ld(1) = limx↘1 (2x + 3) = 5.
Condiția 1 + a = 5 dă a = 4.
Fie f(x) = (e2x − 1)/x dacă x < 0 și f(x) = x + a dacă x ≥ 0. Aflați a pentru care f este continuă în 0.
Rezolvare. La stânga folosim limita remarcabilă cu exponențiala:
ls(0) = limx↗0 (e2x − 1)/(2x) · 2 = 1 · 2 = 2.
La dreapta și în punct: ld(0) = f(0) = a. Deci a = 2.
Fie f(x) = ax + 1 pentru x < 1, f(x) = x² + b pentru 1 ≤ x ≤ 2 și f(x) = 3x pentru x > 2. Determinați a și b astfel încât f să fie continuă pe ℝ.
Rezolvare. Începe cu punctul în care apare un singur parametru. În x = 2: f(2) = 4 + b, iar ld(2) = 6, deci b = 2.
În x = 1: f(1) = 1 + b = 3, iar ls(1) = a + 1, deci a + 1 = 3 și a = 2.
Concluzie: pentru a = 2 și b = 2, f este continuă pe ℝ.
Acolade „ascunse”: valoare izolată și modul
Uneori funcția are o singură formulă, plus o valoare dată separat într-un punct. De exemplu, f(x) = (x² − 1)/(x − 1) pentru x ≠ 1 și f(1) = a. Aici nu mai există limite laterale diferite: calculezi direct limx→1 (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = 2 și impui a = 2.
Funcțiile cu modul sunt, de fapt, tot funcții cu acoladă: |x − 3| = 3 − x pentru x < 3 și x − 3 pentru x ≥ 3. Pentru continuitate nu e nevoie să le desfaci — modulul este continuu, iar compunerea unor funcții continue e continuă. Desfacerea pe ramuri devine necesară abia la derivabilitate.
Puncte de discontinuitate
Dacă f nu este continuă în a ∈ D, punctul se numește punct de discontinuitate. Două situații tipice:
- Salt: limitele laterale există, sunt finite, dar diferite. Exemplu clasic: partea întreagă
[x]în orice număr întreg k, undels(k) = k − 1șild(k) = k. - Limite laterale egale, dar diferite de valoarea funcției (sau cel puțin o limită laterală infinită ori inexistentă).
Atenție: Funcția f(x) = 1/x, definită pe ℝ*, nu are punct de discontinuitate în 0, pentru că 0 nu aparține domeniului. Este continuă pe tot domeniul ei. Discontinuitatea se discută doar în puncte din D; în 0, graficul are o asimptotă verticală, nu o discontinuitate.
Prelungirea prin continuitate
Dacă o funcție nu este definită într-un punct a, dar are limită finită L acolo, o poți „completa” definind f(a) = L. De exemplu, f(x) = sin x / x, pentru x ≠ 0, se prelungește prin continuitate cu f(0) = 1.
Proprietăți ale funcțiilor continue
Pe un interval, funcțiile continue au două proprietăți foarte utile în exerciții:
Semnul constant: o funcție continuă care nu se anulează pe un interval I are semn constant pe I.
Ambele decurg din proprietatea lui Darboux: o funcție continuă pe un interval nu „sare” peste valori. A doua proprietate stă la baza tabelului de semn: între două rădăcini consecutive, o funcție continuă păstrează același semn, deci e suficient să testezi un singur punct din fiecare interval.
Arătați că ecuația x³ + x − 1 = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (0, 1).
Rezolvare. Fie f(x) = x³ + x − 1, continuă pe ℝ (funcție polinomială). f(0) = −1 < 0 și f(1) = 1 > 0, deci f(0)·f(1) < 0, iar ecuația are o soluție în (0, 1).
Bonus: f′(x) = 3x² + 1 > 0, deci f este strict crescătoare, iar soluția este unică pe ℝ. Despre legătura dintre derivată și monotonie citești în monotonie și puncte de extrem.
Greșeli frecvente
- Uiți valoarea în punct. Egalitatea limitelor laterale arată doar că limita există. Continuitatea cere și
lim = f(a). - Ramura greșită pentru f(a). Valoarea se calculează din ramura care conține „≤” sau „≥”, nu din cea cu inegalitate strictă.
- Nu justifici continuitatea pe intervalele deschise. O propoziție scurtă despre funcțiile elementare valorează puncte în barem.
- Discontinuitate „găsită” în afara domeniului. Un punct care nu e în D nu poate fi punct de discontinuitate.
Sfat: După ce ai găsit parametrul, înlocuiește-l înapoi și verifică pe ciornă că valorile laterale chiar coincid. Durează 20 de secunde și te ferește de o greșeală de semn care ar strica și cerințele b) și c), unde funcția este folosită mai departe pentru derivare.
Întrebări frecvente
Cum arăt că o funcție cu acoladă este continuă?
Spui că fiecare ramură este continuă pe intervalul ei deschis, fiind exprimată prin funcții elementare. Apoi, în fiecare punct de legătură, calculezi limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției și arăți că sunt egale.
Funcția 1/x este discontinuă în 0?
Nu. Punctul 0 nu aparține domeniului funcției, deci acolo nu se pune problema continuității. Funcția 1/x este continuă pe tot domeniul ei de definiție.
Orice funcție continuă este derivabilă?
Nu. De exemplu, funcția modul |x| este continuă în 0, dar nu este derivabilă acolo. Reciproca este însă adevărată: orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.