Ce înseamnă convex și concav
Gândește-te la graficul lui x²: arată ca un „pahar” care ține apa. O astfel de funcție este convexă. Graficul lui −x² este un pahar întors, care varsă apa — funcția este concavă. Geometric, diferența se vede în trei moduri echivalente pentru funcțiile derivabile:
- la o funcție convexă, orice coardă care unește două puncte ale graficului stă deasupra graficului, iar orice tangentă stă sub grafic;
- la o funcție concavă este exact invers: coardele sunt sub grafic, tangentele deasupra;
- la o funcție convexă panta tangentei crește când mergi spre dreapta, adică
f′este crescătoare; la una concavă,f′este descrescătoare.
Ultima observație este cheia: dacă f′ crește, atunci derivata ei, adică f″, este pozitivă. De aici vine criteriul pe care îl folosești în practic toate problemele de BAC.
Capitolul face parte din analiza de clasa a XI-a și apare la Subiectul al III-lea, problema 1, de obicei la punctul b) sau c), după ce ai calculat deja derivata întâi. Este în programa M1 și M2; dacă ești la M3, verifică în programa ta dacă se cere și studiul derivatei a doua, pentru că acolo accentul cade pe monotonie și extreme.
Criteriul cu derivata a doua
Fie f : I → ℝ de două ori derivabilă pe intervalul I.
f″(x) ≤ 0 pentru orice x ∈ I ⇒ f este concavă pe I
Algoritmul pe care îl aplici la examen are trei pași:
- Calculezi
f″(x), derivândf′(x), și o aduci la o formă cât mai factorizată. Un produs sau un cât se studiază mult mai ușor decât o sumă. - Rezolvi ecuația
f″(x) = 0în domeniul funcției. - Faci tabelul de semn pentru
f″și citești intervalele: undef″ ≥ 0funcția este convexă, undef″ ≤ 0este concavă.
Observi că pașii sunt identici cu cei de la studiul monotoniei, doar că lucrezi cu f″ în loc de f′. Dacă știi să faci un tabel de variație, știi deja și tabelul de convexitate.
Sfat: factorii mereu pozitivi (de exemplu eˣ, x² + 1, (x² + 1)² sau x² pe (0, ∞)) nu influențează semnul. Scrie explicit „deoarece eˣ > 0, semnul lui f″ este semnul lui x + 2” — corectorul vrea să vadă argumentul.
Puncte de inflexiune
Un punct x₀ din interiorul domeniului este punct de inflexiune dacă f este continuă în x₀, graficul admite tangentă în acel punct și funcția își schimbă tipul de curbură: este convexă de o parte a lui x₀ și concavă de cealaltă. La nivelul problemelor de BAC, în care funcțiile sunt de două ori derivabile, regula practică este:
Punctul de inflexiune al graficului: I(x₀, f(x₀))
Ecuația f″(x) = 0 îți dă doar candidații. Fiecare candidat trebuie confirmat prin schimbarea de semn din tabel. Nu uita să calculezi și ordonata f(x₀), dacă ți se cere „punctul de inflexiune al graficului”.
Exemple rezolvate
Se consideră f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 3x² + 2. Determinați intervalele de convexitate și concavitate și punctul de inflexiune al graficului.
Rezolvare: f′(x) = 3x² − 6x, deci f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). Ecuația f″(x) = 0 are soluția x = 1.
Pentru x < 1 avem f″(x) < 0, iar pentru x > 1 avem f″(x) > 0. Așadar f este concavă pe (−∞, 1] și convexă pe [1, +∞).
Derivata a doua își schimbă semnul în x = 1, iar f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, deci punctul de inflexiune este I(1, 0).
Un fapt util de reținut: orice funcție de gradul al treilea ax³ + bx² + cx + d, cu a ≠ 0, are exact un punct de inflexiune, în x = −b/(3a), pentru că f″(x) = 6ax + 2b este de gradul I și își schimbă mereu semnul.
Se consideră f : ℝ → ℝ, f(x) = x·eˣ. Arătați că funcția f este convexă pe [−2, +∞).
Rezolvare: f′(x) = eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ. Derivăm încă o dată: f″(x) = eˣ + (x + 1)eˣ = (x + 2)eˣ.
Cum eˣ > 0 pentru orice x real, semnul lui f″(x) este semnul lui x + 2. Pentru x ≥ −2 avem x + 2 ≥ 0, deci f″(x) ≥ 0 și f este convexă pe [−2, +∞).
Bonus: pe (−∞, −2] funcția este concavă, deci x = −2 este punct de inflexiune, iar punctul corespunzător al graficului este I(−2, −2e⁻²).
Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = ln(x² + 1). Studiați convexitatea funcției.
Rezolvare: f′(x) = 2x / (x² + 1). Cu regula câtului:
f″(x) = [2(x² + 1) − 2x·2x] / (x² + 1)² = 2(1 − x²) / (x² + 1)².
Numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui f″ este semnul lui 1 − x²: pozitiv pe (−1, 1) și negativ în afara acestui interval.
Concluzie: f este convexă pe [−1, 1], concavă pe (−∞, −1] și pe [1, +∞). Punctele de inflexiune sunt x = −1 și x = 1, iar punctele graficului sunt (−1, ln 2) și (1, ln 2).
Fie f(x) = x⁴ − 4x. Are graficul puncte de inflexiune?
Rezolvare: f′(x) = 4x³ − 4, f″(x) = 12x². Ecuația f″(x) = 0 dă x = 0, dar 12x² ≥ 0 pe tot ℝ, deci f″ nu își schimbă semnul. Funcția este convexă pe ℝ și nu are puncte de inflexiune.
Convexitate și inegalități
Cerințele de tip c) cer adesea demonstrarea unei inegalități. Pe lângă metoda clasică — studiezi o funcție auxiliară și îi găsești minimul — convexitatea oferă o scurtătură elegantă:
f concavă pe I ⇒ f(x) ≤ f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), pentru orice x, x₀ ∈ I
Membrul drept este exact ecuația tangentei în punctul de abscisă x₀. Inegalitatea spune doar că graficul unei funcții convexe stă deasupra tangentei.
a) Arătați că eˣ ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ.
Funcția f(x) = eˣ are f″(x) = eˣ > 0, deci este convexă pe ℝ. Tangenta în x₀ = 0 are ecuația y = f(0) + f′(0)·x = 1 + x. Graficul fiind deasupra tangentei, eˣ ≥ x + 1.
b) Arătați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0.
Pentru g(x) = ln x, g″(x) = −1/x² < 0, deci g este concavă pe (0, +∞). Tangenta în x₀ = 1 este y = 0 + 1·(x − 1) = x − 1, iar graficul unei funcții concave este sub tangentă.
Sfat: dacă nu ești sigur că o redactare prin convexitate este acceptată, folosește metoda funcției auxiliare: h(x) = eˣ − x − 1, h′(x) = eˣ − 1, minim în x = 0, h(0) = 0, deci h(x) ≥ 0. Orice rezolvare corectă și completă primește punctajul maxim.
Greșeli frecvente
Atenție la aceste capcane:
- Confuzia convex/concav.
f″ ≥ 0înseamnă convexă („zâmbet”),f″ ≤ 0înseamnă concavă. Nu inversa termenii. - Declararea automată a inflexiunii din
f″(x₀) = 0. Vezi Exemplul 4: fără schimbare de semn nu există inflexiune. - Ignorarea domeniului. Pentru
f(x) = x − ln xpe(0, ∞),f″(x) = 1/x² > 0; nu are sens să discuți semnul pentrux < 0. - Erori la derivata a doua. Majoritatea punctelor pierdute vin dintr-un
f′greșit. Verificăf′înainte să derivezi din nou și simplifică factorul comun (de tipuleˣ) imediat. - Lipsa ordonatei. „Punctul de inflexiune al graficului” înseamnă o pereche
(x₀, f(x₀)), nu doarx₀.
Convexitatea se leagă natural de restul studiului unei funcții: asimptotele, monotonia și curbura împreună îți dau forma completă a graficului. Dacă vrei să vezi cum se combină toate acestea cu ce se cere în celelalte probleme ale examenului, parcurge și structura subiectului de BAC.
Întrebări frecvente
Dacă f″(x₀) = 0, este x₀ sigur punct de inflexiune?
Nu. Condiția f″(x₀) = 0 este doar necesară. Punctul x₀ este de inflexiune numai dacă derivata a doua își schimbă semnul în x₀. De exemplu, pentru f(x) = x⁴ avem f″(0) = 0, dar f″(x) = 12x² ≥ 0, deci funcția este convexă pe ℝ și nu are puncte de inflexiune.
Cum scriu corect concluzia la o cerință de convexitate?
Calculezi f″(x), îi studiezi semnul și scrii explicit: deoarece f″(x) ≥ 0 pentru orice x din interval, funcția f este convexă pe acel interval. Concluzia trebuie să menționeze intervalul și legătura cu semnul derivatei a doua.
La ce folosește convexitatea în afară de cerința directă?
Graficul unei funcții convexe se află deasupra oricărei tangente, iar al unei funcții concave sub orice tangentă. Din această proprietate se obțin rapid inegalități precum eˣ ≥ x + 1 sau ln x ≤ x − 1.