Definiție și rație
Un șir (bₙ)ₙ≥₁ cu primul termen nenul este o progresie geometrică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul înmulțindu-l cu același număr q, numit rație:
q = bₙ₊₁ / bₙ = b₂ / b₁ (dacă termenii sunt nenuli)
Exemple: 3, 6, 12, 24, … are rația 2; 81, 27, 9, 3, … are rația 1/3; 1, −2, 4, −8, … are rația −2. Când rația este negativă, semnele termenilor alternează — un detaliu care te ajută să verifici rapid un rezultat.
Ca să arăți că un șir dat prin formulă este progresie geometrică, calculezi raportul bₙ₊₁ / bₙ și arăți că este constant. Pentru bₙ = 5 · 2ⁿ: bₙ₊₁ / bₙ = 5·2ⁿ⁺¹ / (5·2ⁿ) = 2, deci șirul este progresie geometrică cu rația 2.
Termenul general
De la b₁ la bₙ înmulțești cu q de n − 1 ori:
bₙ = bₖ · qⁿ⁻ᵏ
A doua formă este utilă când cunoști doi termeni oarecare: raportul b₅ / b₂ = q³. Spre deosebire de cazul aritmetic, unde scazi termenii, aici îi împarți.
Suma primilor n termeni
Sₙ = n · b₁, pentru q = 1
Formula se poate scrie echivalent b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), formă comodă când q < 1. Două cazuri particulare apar foarte des:
1 + q + q² + … + qⁿ⁻¹ = (qⁿ − 1)/(q − 1)
Atenție la numărul de termeni: suma 1 + 2 + … + 2ⁿ⁻¹ are n termeni (exponenții merg de la 0 la n − 1). La clasa a XI-a, la limite de șiruri, vei vedea și ce se întâmplă cu Sₙ când n crește nelimitat și |q| < 1: suma tinde la b₁/(1 − q).
Condiția pentru trei termeni consecutivi
Numerele nenule a, b, c (în această ordine) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă:
Pentru termeni pozitivi, condiția spune că termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor: b = √(ac). Când rezolvi o astfel de cerință cu parametru, obții adesea o ecuație de gradul al II-lea cu două soluții — verifică-le pe amândouă, pentru că de multe ori ambele sunt corecte.
Aritmetică sau geometrică?
| Progresie aritmetică | Progresie geometrică | |
|---|---|---|
| Regula | aₙ₊₁ = aₙ + r | bₙ₊₁ = bₙ · q |
| Termenul general | a₁ + (n − 1)r | b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Suma | (a₁ + aₙ)n/2 | b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) |
| Trei termeni consecutivi | 2b = a + c | b² = ac |
| Notație simetrică | b − r, b, b + r | b/q, b, bq |
Toate formulele pentru progresiile aritmetice, cu exemple separate, sunt în articolul Progresii aritmetice.
Exerciții rezolvate
Progresia geometrică (bₙ) are b₁ = 2 și q = 3. Calculați b₅ și S₅.
Rezolvare: b₅ = b₁·q⁴ = 2·81 = 162. Suma: S₅ = 2·(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2·242/2 = 242. Verificare directă: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Într-o progresie geometrică b₂ = 6 și b₅ = 48. Calculați suma primilor 6 termeni.
Rezolvare: b₅ / b₂ = q³ = 8, deci q = 2 (singura rădăcină cubică reală a lui 8). Atunci b₁ = b₂/q = 3, iar S₆ = 3·(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3·63 = 189.
Determinați numărul real x pentru care x − 1, x + 1 și 2x + 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Rezolvare: condiția este (x + 1)² = (x − 1)(2x + 5). Dezvoltăm: x² + 2x + 1 = 2x² + 3x − 5, adică x² + x − 6 = 0, cu soluțiile x = 2 și x = −3.
Verificare: pentru x = 2 numerele sunt 1, 3, 9 (rația 3); pentru x = −3 sunt −4, −2, −1 (rația 1/2). Ambele valori sunt corecte, termenii fiind nenuli.
Calculați 1 + 2 + 2² + … + 2⁹.
Rezolvare: este suma primilor 10 termeni ai progresiei cu b₁ = 1, q = 2: S₁₀ = (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.
Calculați 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/64.
Rezolvare: b₁ = 1/2, q = 1/2, iar 1/64 = (1/2)⁶, deci sunt 6 termeni. S₆ = (1/2)·(1 − (1/2)⁶)/(1 − 1/2) = 1 − 1/64 = 63/64.
Numerele a, b, c sunt în progresie aritmetică și au suma 15. Dacă adunăm 1 la b și 5 la c, numerele a, b + 1, c + 5 sunt în progresie geometrică. Determinați numerele.
Rezolvare: folosim notația simetrică a = 5 − r, b = 5, c = 5 + r (suma 3b = 15 dă b = 5). Condiția geometrică: 6² = (5 − r)(10 + r), adică 36 = 50 − 5r − r², deci r² + 5r − 14 = 0, cu r = 2 sau r = −7.
Pentru r = 2: 3, 5, 7, iar 3, 6, 12 este geometrică. Pentru r = −7: 12, 5, −2, iar 12, 6, 3 este geometrică. Problema are două soluții.
Greșeli frecvente
Exponentul n în loc de n − 1. b₅ = b₁·q⁴, nu b₁·q⁵. Aceeași regulă ca la progresiile aritmetice: de la primul la al cincilea termen sunt patru pași.
Rădăcini pierdute la puteri pare. Dacă obții q² = 9, rația poate fi 3 sau −3. Ambele variante trebuie analizate, cu excepția cazului în care enunțul spune că termenii sunt pozitivi. La q³ = 8, în schimb, există o singură soluție reală.
Formula sumei aplicată pentru q = 1. Numitorul q − 1 devine zero; în acest caz suma este simplu n·b₁.
Calcule cu puteri. 2·3⁴ = 162, nu 6⁴. Ridicarea la putere se face înaintea înmulțirii. Dacă vrei să-ți reîmprospătezi regulile de calcul cu puteri, ele apar și la ecuațiile exponențiale.
Sfat: după ce afli b₁ și q, scrie primii trei-patru termeni. Durează câteva secunde și confirmă că ai interpretat corect enunțul. Exercițiile de acest tip apar la Subiectul I, iar o recapitulare a tuturor formulelor de clasa a IX-a găsești în fișa de formule M1.
Întrebări frecvente
Care este formula termenului general al unei progresii geometrice?
Termenul general este bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, unde b₁ este primul termen și q este rația.
Cum calculez suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice?
Pentru q ≠ 1, Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1). Dacă q = 1, toți termenii sunt egali, iar Sₙ = n · b₁.
Care este condiția ca trei numere să fie în progresie geometrică?
Numerele nenule a, b, c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă b² = a · c.