Formula integrării prin părți
Metoda vine direct din regula de derivare a produsului: (f·g)′ = f′·g + f·g′. Integrând ambii membri și rearanjând, obții:
∫ab f(x)·g′(x) dx = f(x)·g(x) |ab − ∫ab f′(x)·g(x) dx
Condiția este ca f și g să fie derivabile cu derivate continue pe interval — ceea ce se întâmplă pentru toate funcțiile care apar în problemele de BAC. Ideea metodei: schimbi o integrală grea pe una mai ușoară, „mutând” derivata de pe o funcție pe cealaltă.
Ambele metode din acest articol se aplică după ce stăpânești tabelul de primitive și formula Leibniz–Newton. Ele fac parte din programa de clasa a XII-a la M1 și M2; dacă ești la M3, verifică în programa ta dacă sunt cerute explicit.
Ce alegi ca f și ce alegi ca g′
Toată dificultatea metodei stă în alegere. Regula practică: derivezi ce se simplifică prin derivare și integrezi ce se integrează ușor.
| Tipul integralei | f (se derivează) | g′ (se integrează) |
|---|---|---|
∫ P(x)·eˣ dx | P(x) | eˣ |
∫ P(x)·sin x dx, ∫ P(x)·cos x dx | P(x) | sin x, cos x |
∫ P(x)·ln x dx | ln x | P(x) |
∫ ln x dx | ln x | 1 = x′ |
Aici P(x) înseamnă un polinom. Observă excepția logaritmului: ln x nu are o primitivă din tabel, dar derivata lui, 1/x, este foarte simplă, așa că îl derivezi întotdeauna.
Exemple rezolvate prin părți
Calculați ∫01 x·eˣ dx.
Rezolvare: Alegem f(x) = x, g′(x) = eˣ, deci f′(x) = 1, g(x) = eˣ.
∫01 x·eˣ dx = x·eˣ |01 − ∫01 eˣ dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.
Calculați ∫1e x·ln x dx.
Rezolvare: Aici derivăm logaritmul: f(x) = ln x, g′(x) = x, deci f′(x) = 1/x, g(x) = x²/2.
∫1e x·ln x dx = (x²/2)·ln x |1e − ∫1e (x²/2)·(1/x) dx = e²/2 − ∫1e x/2 dx.
Cum ∫1e x/2 dx = x²/4 |1e = (e² − 1)/4, rezultatul este e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4.
Calculați ∫1e ln x dx.
Rezolvare: Scriem ln x = x′·ln x: f(x) = ln x, g(x) = x.
∫1e ln x dx = x·ln x |1e − ∫1e x·(1/x) dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.
Calculați ∫0π/2 x·cos x dx.
Rezolvare: f(x) = x, g′(x) = cos x, deci g(x) = sin x.
∫0π/2 x·cos x dx = x·sin x |0π/2 − ∫0π/2 sin x dx = π/2 − (−cos x) |0π/2 = π/2 − (0 + 1) = π/2 − 1.
Calculați ∫01 x²·eˣ dx.
Rezolvare: Prima aplicare, cu f(x) = x², g(x) = eˣ:
∫01 x²·eˣ dx = x²·eˣ |01 − 2∫01 x·eˣ dx = e − 2·1 = e − 2,
unde am folosit rezultatul din Exemplul 1. Gradul polinomului scade cu unu la fiecare aplicare, așa că după n pași ajungi la o integrală din tabel.
Sfat: verifică rezultatul derivând primitiva găsită. Pentru Exemplul 5, primitiva este (x² − 2x + 2)eˣ, iar derivata ei este (2x − 2)eˣ + (x² − 2x + 2)eˣ = x²·eˣ. Valorile în 1 și 0 sunt e și 2, deci e − 2.
Schimbarea de variabilă
Metoda se aplică atunci când recunoști sub integrală o funcție compusă f(u(x)) înmulțită cu derivata funcției interioare u′(x):
Pașii sunt mereu aceiași:
- alegi
t = u(x)— de obicei expresia din interiorul unei puteri, al unei exponențiale sau al unui logaritm; - calculezi
dt = u′(x) dxși verifici cău′(x) dxapare (eventual până la o constantă) sub integrală; - schimbi capetele:
x = a ⇒ t = u(a),x = b ⇒ t = u(b); - calculezi integrala nouă, în variabila
t.
Exemple rezolvate prin substituție
Calculați ∫01 x·ex² dx.
Rezolvare: Notăm t = x², deci dt = 2x dx, adică x dx = dt/2. Capetele: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1.
∫01 x·ex² dx = (1/2)∫01 eᵗ dt = (1/2)·eᵗ |01 = (e − 1)/2.
Calculați ∫1e (ln x)/x dx.
Rezolvare: Notăm t = ln x, dt = (1/x) dx. Capetele: x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1.
∫1e (ln x)/x dx = ∫01 t dt = t²/2 |01 = 1/2.
Calculați ∫0π/2 sin x·cos²x dx.
Rezolvare: Notăm t = cos x, dt = −sin x dx. Capetele: x = 0 ⇒ t = 1, x = π/2 ⇒ t = 0.
∫0π/2 sin x·cos²x dx = ∫10 t²·(−dt) = ∫01 t² dt = 1/3.
Semnul minus din dt și inversarea capetelor se anulează reciproc — un detaliu pe care mulți îl ratează.
Relații de recurență (M1)
La M1, integrarea prin părți se folosește și pentru șiruri de integrale. Pentru Iₙ = ∫01 xⁿ·eˣ dx, cu n ≥ 1, alegem f(x) = xⁿ și g(x) = eˣ:
Cu I₀ = e − 1 obții I₁ = e − (e − 1) = 1 și I₂ = e − 2·1 = e − 2, exact rezultatele din Exemplele 1 și 5. Relația se combină adesea cu o încadrare pentru a calcula o limită; vezi secțiunea despre inegalități din articolul despre integrala definită.
Greșeli frecvente
- Alegerea inversă la
∫ x·eˣ dx: dacă ieif = eˣșig′ = x, ajungi la∫ (x²/2)·eˣ dx, mai grea decât inițiala. - Uitarea termenului
f·g |absau calcularea lui doar într-un capăt. - Neschimbarea capetelor la substituție: integrezi în
t, dar evaluezi în vechile capete ale luix. - Factorul constant pierdut: la
t = x²,x dx = dt/2, nudt. - Semnul la
cos x: derivata luicos xeste−sin x; minusul trebuie dus până la capăt.
Ambele metode sunt folosite intens și la calculul ariilor și volumelor, unde integrala vine dintr-o problemă geometrică — vezi Aria și volumul cu integrale. Iar pentru că totul se sprijină pe derivate corecte, o recapitulare rapidă a regulilor de derivare nu strică niciodată.
Întrebări frecvente
Cum știu când folosesc integrarea prin părți?
Când sub integrală ai un produs de două funcții de tipuri diferite, de exemplu un polinom înmulțit cu eˣ, cu sin x, cu cos x sau cu ln x, și nu recunoști derivata unei funcții compuse. Integrala ln x singură se face tot prin părți, scriind ln x = x′·ln x.
Trebuie să schimb capetele la schimbarea de variabilă?
Da, dacă lucrezi direct cu integrala definită în noua variabilă. Calculezi noile capete înlocuind capetele vechi în formula substituției. Alternativ, poți găsi primitiva în x și apoi aplici formula Leibniz–Newton cu capetele inițiale.
Ce fac dacă după integrarea prin părți integrala nu s-a simplificat?
Probabil ai ales invers funcțiile. Regula este să derivezi funcția care se simplifică prin derivare (polinomul sau logaritmul) și să integrezi funcția care se integrează ușor (eˣ, sin x, cos x, polinomul atunci când lângă el este ln x).