Ce este o asimptotă
O asimptotă este o dreaptă de care graficul funcției se apropie oricât de mult, pe măsură ce x sau f(x) „fug” spre infinit. Există trei tipuri, și fiecare se determină cu limite:
| Tip | Ecuație | Unde o cauți |
|---|---|---|
| Orizontală | y = ℓ | spre +∞ și spre −∞ |
| Oblică | y = mx + n, m ≠ 0 | spre +∞ și spre −∞ |
| Verticală | x = a | în punctele finite de la „marginea” domeniului |
Asimptotele fac parte din studiul funcțiilor din clasa a XI-a și apar la toate cele trei programe. În subiectul de BAC sunt, de obicei, cerința a) sau b) a primei probleme de la Subiectul al III-lea, formulată ca „Determinați ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcției f”.
Sfat: Primul pas este mereu domeniul. El îți spune spre ce infinit are sens să cauți asimptote orizontale/oblice (o funcție definită pe (0, +∞) nu are nimic de studiat spre −∞) și în ce puncte poți avea asimptote verticale.
Asimptote orizontale
Analog spre −∞, cu limx→−∞ f(x).
Limita trebuie să fie un număr finit. Dacă limita este infinită, nu există asimptotă orizontală în acea direcție, dar poate exista una oblică. Spre +∞ și spre −∞ poți obține valori diferite, deci studiază cele două direcții separat.
Asimptote verticale
limx↗a f(x) = ±∞ sau limx↘a f(x) = ±∞
Candidații sunt punctele finite în care funcția „nu e definită” dar se poate ajunge aproape de ele: zerourile numitorului, capătul 0 pentru ln x, capetele finite ale intervalelor deschise. În punctele în care funcția este continuă (în interiorul domeniului) nu pot exista asimptote verticale, deoarece limita este chiar valoarea finită a funcției.
Dacă domeniul permite apropierea doar dintr-o parte (de exemplu x → 0, x > 0 la logaritm), calculezi doar limita laterală respectivă și spui că asimptota verticală este „la dreapta” sau „la stânga”.
Asimptote oblice
Dacă nu există asimptotă orizontală spre +∞, cauți una oblică y = mx + n:
n = limx→+∞ (f(x) − mx), cu n ∈ ℝ
Ambele limite trebuie să fie finite, iar m nenul. Dacă m este infinit, sau dacă m e finit dar n infinit, nu există asimptotă oblică. Dacă m = 0 și n e finit, de fapt ai găsit o asimptotă orizontală. Spre −∞ se procedează identic.
Atenție: Într-o anumită direcție (de exemplu spre +∞), o funcție poate avea fie asimptotă orizontală, fie asimptotă oblică, niciodată pe amândouă. Dacă ai găsit orizontală spre +∞, nu mai cauți oblică în aceeași direcție.
La funcțiile raționale există o scurtătură: asimptota oblică apare când gradul numărătorului este cu exact 1 mai mare decât al numitorului, iar ecuația ei este câtul împărțirii celor două polinoame.
Exemple rezolvate
Determinați asimptotele graficului funcției f : ℝ \ {3} → ℝ, f(x) = (2x + 1)/(x − 3).
Orizontală: limx→±∞ (2x + 1)/(x − 3) = 2 (grade egale), deci y = 2 este asimptotă orizontală spre +∞ și spre −∞.
Verticală: în x = 3 numărătorul tinde la 7, iar numitorul la 0. limx↗3 f(x) = 7/0⁻ = −∞ și limx↘3 f(x) = 7/0⁺ = +∞. Deci x = 3 este asimptotă verticală.
Oblică: nu există, pentru că avem orizontală în ambele direcții.
Fie f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = (x² + 1)/(x − 1).
Verticală: limx↗1 f(x) = 2/0⁻ = −∞, limx↘1 f(x) = +∞, deci x = 1.
Orizontală: limx→±∞ f(x) = ±∞, deci nu există.
Oblică: m = lim (x² + 1)/(x² − x) = 1; n = lim ((x² + 1)/(x − 1) − x) = lim (x + 1)/(x − 1) = 1. Asimptota oblică spre ±∞ este y = x + 1.
Verificare cu scurtătura: x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, deci câtul este x + 1.
Fie f(x) = √(x² + 2x), definită pe (−∞, −2] ∪ [0, +∞).
Spre +∞: m = lim √(x² + 2x)/x = lim √(1 + 2/x) = 1; n = lim (√(x² + 2x) − x) = lim 2x/(√(x² + 2x) + x) = 1. Asimptota: y = x + 1.
Spre −∞: pentru x < 0, √(x²) = |x| = −x, deci m = lim −√(1 + 2/x) = −1; n = lim (√(x² + 2x) + x) = lim 2x/(√(x² + 2x) − x) = −1. Asimptota: y = −x − 1.
Verticale: nu există, funcția este continuă pe domeniu, iar domeniul este format din intervale închise la capetele finite.
Se consideră f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = x + (ln x)/x.
a) Verticală: limx↘0 f(x) = 0 + (−∞)/0⁺ = −∞, deci x = 0 este asimptotă verticală.
b) Spre +∞: m = lim (1 + ln x/x²) = 1, iar n = lim (f(x) − x) = lim ln x / x = 0 (logaritmul crește mai încet decât x, vezi limitele remarcabile). Asimptota oblică este y = x.
c) Spre −∞ nu are sens studiul, domeniul fiind (0, +∞).
Pentru f(x) = x·eˣ, limx→−∞ x·eˣ = 0 (exponențiala „bate” puterea), deci y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞. Spre +∞, f(x)/x = eˣ → +∞, deci nu există nici orizontală, nici oblică.
Greșeli frecvente
- Asimptotă verticală declarată fără limită. Faptul că numitorul se anulează nu e suficient: la
(x² − 1)/(x − 1)limita în 1 este 2, deci nu există asimptotă verticală. - Semnul la −∞ cu radicali.
√(x²) = −xpentru x negativ; altfel obții m cu semn greșit. - Aceeași asimptotă presupusă în ambele direcții. Exemplul 3 arată că spre +∞ și spre −∞ pot exista drepte diferite.
- m = 0 tratat ca asimptotă oblică. Dacă m = 0, dreapta este orizontală și ar fi trebuit găsită direct ca limită a lui f.
Asimptotele sunt o parte a studiului complet al funcției, alături de monotonie și extreme și convexitate; împreună îți permit să schițezi graficul. Iar dacă ai nevoie de o dreaptă care atinge graficul într-un punct anume, ai nevoie de ecuația tangentei, nu de asimptote.
Întrebări frecvente
Poate o funcție să aibă și asimptotă orizontală, și oblică?
Nu în aceeași direcție. Spre +∞ funcția are fie asimptotă orizontală, fie oblică, fie niciuna. Poate însă avea orizontală spre −∞ și oblică spre +∞, deoarece cele două direcții se studiază separat.
Unde caut asimptotele verticale?
În punctele finite care nu aparțin domeniului, dar în care te poți apropia de ele din domeniu: zerourile numitorului, capătul 0 al logaritmului, capetele deschise ale intervalelor. Într-un astfel de punct calculezi limitele laterale; dacă măcar una este infinită, ai asimptotă verticală.
Graficul poate intersecta o asimptotă?
Da, graficul poate intersecta o asimptotă orizontală sau oblică, chiar de mai multe ori. Nu poate însă intersecta o asimptotă verticală x = a dacă a nu este în domeniu.