De ce ai nevoie de limitele remarcabile
Unele nedeterminări nu se rezolvă prin factorizare sau prin conjugată. sin x / x când x → 0, de exemplu, nu are nimic de simplificat. Pentru astfel de situații există o listă scurtă de limite remarcabile — rezultate demonstrate o singură dată, la clasă, pe care apoi le folosești ca „piese de construcție”.
Ele sunt instrumentul principal pentru nedeterminările 0/0 cu funcții trigonometrice, exponențiale sau logaritmice și pentru nedeterminarea 1∞. Metodele generale (factorizare, conjugată, l'Hospital) sunt explicate în ghidul despre limite de funcții; aici ne concentrăm pe lista propriu-zisă și pe felul în care o aplici.
Limitele remarcabile țin de analiza de clasa a XI-a. La M1 și M2 apar frecvent atât direct, cât și în calculul unor derivate sau al unor limite din problemele cu integrale; la M3 exercițiile sunt, de regulă, mai directe, așa că verifică în programa ta ce variante ți se cer.
Lista completă
Limite trigonometrice (x → 0)
limx→0 tg x / x = 1
limx→0 arcsin x / x = 1
limx→0 arctg x / x = 1
limx→0 (1 − cos x) / x² = 1/2
Limite exponențiale și logaritmice (x → 0)
limx→0 (eˣ − 1) / x = 1
limx→0 (aˣ − 1) / x = ln a, a > 0
limx→0 ((1 + x)r − 1) / x = r, r ∈ ℝ
Numărul e (nedeterminarea 1∞)
limx→±∞ (1 + 1/x)ˣ = e
Comparații de creștere (x → ∞)
limx→∞ ln x / xk = 0, k > 0
limx→0, x>0 xk ln x = 0, k > 0
Ordinea de creștere spre +∞ este: logaritm ≪ putere ≪ exponențială. Când într-un raport apar funcții din „clase” diferite, câștigă cea mai rapidă.
Sfat: Ultima limită trigonometrică, (1 − cos x)/x² → 1/2, se deduce din prima: 1 − cos x = 2 sin²(x/2), iar 2 sin²(x/2)/x² = (1/2)·(sin(x/2)/(x/2))² → 1/2. Dacă o uiți, o poți reconstrui în 30 de secunde cu formulele trigonometrice.
Regula de aur: generalizarea cu u(x)
Fiecare limită din listă rămâne adevărată dacă înlocuiești x cu o funcție u(x) care tinde la 0 (respectiv la ∞, pentru cele cu ∞):
Condiția esențială: argumentul funcției și numitorul trebuie să fie exact aceeași expresie. Dacă nu sunt, le „forțezi” prin înmulțire și împărțire cu ce lipsește. Aceasta este, de fapt, toată tehnica — exemplele de mai jos o arată în acțiune.
Cum recunoști formula potrivită
Înainte de calcul, uită-te la ce funcție „transcendentă” apare în expresie și la punctul spre care tinde x. Tabelul de mai jos îți arată legătura dintre ce vezi în exercițiu și ce formulă cauți:
| Ce vezi în exercițiu | Formula pe care o forțezi |
|---|---|
sin(…), tg(…), arcsin(…), arctg(…) cu argument → 0 | raportul dintre funcție și argumentul ei → 1 |
1 − cos(…) | împarți la pătratul argumentului → 1/2 |
ln(1 + …) sau ln(…) cu argument → 1 | ln(1 + u)/u → 1 |
e… − 1 sau a… − 1 | (eu − 1)/u → 1, (au − 1)/u → ln a |
radical sau putere a lui (1 + …), minus 1 | ((1 + u)r − 1)/u → r |
| bază → 1 și exponent → ∞ | numărul e |
Pentru logaritmul unui argument care tinde la 1, de exemplu ln x când x → 1, scrii ln x = ln(1 + (x − 1)) și iei u = x − 1. Astfel, limx→1 ln x / (x − 1) = 1.
Exemple rezolvate
a) limx→0 sin 5x / (3x). Argumentul este 5x, deci avem nevoie de 5x la numitor:
sin 5x / (3x) = (sin 5x / 5x) · (5x / 3x) → 1 · 5/3 = 5/3.
b) limx→0 arctg 4x / arcsin 2x = (arctg 4x / 4x) · (2x / arcsin 2x) · (4x / 2x) → 1 · 1 · 2 = 2.
a) limx→0 ln(1 + 2x) / sin x. Scriem:
ln(1 + 2x)/sin x = [ln(1 + 2x)/(2x)] · [x/sin x] · 2 → 1 · 1 · 2 = 2.
b) limx→0 (e3x − 1) / tg 2x = [(e3x − 1)/(3x)] · [2x/tg 2x] · (3x/2x) → 3/2.
c) limx→0 (2ˣ − 1)/x = ln 2, direct din formula cu aˣ.
d) limx→0 (√(1 + x) − 1)/x = 1/2, din formula cu (1 + x)r pentru r = 1/2. Același rezultat îl obții și cu conjugata.
Pentru 1∞ folosim forma generală:
a) limx→∞ ((x + 3)/(x − 1))ˣ. Scriem baza ca 1 + u: (x + 3)/(x − 1) = 1 + 4/(x − 1). Atunci u·v = 4x/(x − 1) → 4, iar limita este e⁴.
b) limx→∞ ((x² + 1)/(x² − 2))x². Baza este 1 + 3/(x² − 2), iar 3x²/(x² − 2) → 3. Limita este e³.
c) limx→0 (1 + sin x)1/x. Aici u = sin x, v = 1/x, iar u·v = sin x / x → 1. Limita este e.
Se consideră f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = ln x / x.
a) limx→∞ f(x) = 0, deoarece logaritmul crește mai încet decât orice putere (aici k = 1).
b) limx→0, x>0 f(x): numărătorul tinde la −∞, numitorul la 0⁺, deci limita este −∞. Nu e nedeterminare!
Din a) rezultă că dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞, iar din b) că x = 0 este asimptotă verticală.
Capcane frecvente
Atenție:
- Punctul greșit.
sin x / x → 1doar cândx → 0. Cândx → ∞,sin x / x → 0(funcție mărginită împărțită la ceva infinit). - Argument și numitor diferite.
sin 5x / xnu tinde la 1, ci la 5. Forțează mereu aceeași expresie sus și jos. - Grade în loc de radiani. Toate limitele trigonometrice presupun că x este măsurat în radiani.
- „u(x) → 0” neverificat.
ln(1 + u)/u → 1doar dacău → 0. Pentruln(1 + x)/xcândx → ∞, limita este 0, nu 1. - 1∞ tratat ca 1. Rezultatul este o putere a lui e și depinde de produsul
u·v.
Legătura cu derivatele
Multe limite remarcabile sunt, de fapt, derivate „deghizate”. De exemplu, (eˣ − 1)/x este raportul de la definiția derivatei funcției exponențiale în 0, iar ln(1 + x)/x este cel al funcției ln(1 + x) în 0. Asta explică de ce rezultatele sunt chiar valorile derivatelor în 0 din tabelul de derivate. Când ajungi la continuitatea funcțiilor cu acoladă, vei vedea că limitele laterale de acolo cer exact aceste formule.
Întrebări frecvente
Cât face limita lui sin x / x când x tinde la infinit?
Limita este 0, nu 1. Funcția sin x este mărginită între −1 și 1, iar împărțită la x, care tinde la infinit, dă 0. Rezultatul 1 este valabil doar când x tinde la 0.
Cum rezolv o nedeterminare de tipul 1 la puterea infinit?
Scrii baza sub forma 1 + u(x), cu u(x) tinzând la 0, și calculezi limita produsului dintre u(x) și exponent. Rezultatul final este e la puterea acestei limite.
Pot folosi l'Hospital în loc de limitele remarcabile?
De multe ori da, dacă regulile lui l'Hospital sunt în programa ta și ai o nedeterminare de tipul 0/0 sau ∞/∞. Limitele remarcabile sunt însă adesea mai rapide și te ajută la nedeterminarea 1 la puterea infinit, unde l'Hospital nu se aplică direct.