Ideea de limită și limitele laterale
Când scrii limx→a f(x) = L, spui că valorile lui f se apropie oricât de mult de L atunci când x se apropie de a (fără să fie neapărat egal cu a). Punctul a poate fi un număr real sau ±∞, iar L poate fi finit sau infinit.
Într-un punct a finit, limita există dacă și numai dacă există ambele limite laterale și sunt egale:
limx→a f(x) există ⇔ ls(a) = ld(a)
Limitele laterale apar mereu la funcțiile definite cu acoladă (vezi continuitatea funcțiilor) și în punctele în care numitorul se anulează (vezi asimptotele verticale). Capitolul face parte din analiza de clasa a XI-a și apare, într-o formă sau alta, la toate cele trei programe — M1, M2 și M3 — de obicei ca primă cerință a Subiectului al III-lea sau ca etapă intermediară într-o problemă mai lungă.
Primul pas: înlocuirea directă
Pentru funcțiile elementare (polinoame, raționale, radicali, exponențiale, logaritmi, trigonometrice) limita într-un punct din domeniu este pur și simplu valoarea funcției. Primul lucru pe care îl faci este deci să înlocuiești. Dacă obții un număr, ai terminat. Dacă obții o formă de tipul 5/0 sau o nedeterminare, treci la metodele de mai jos.
| Operație | Rezultat |
|---|---|
∞ + ∞, ∞ · ∞ | ∞ |
a · ∞, cu a > 0 (respectiv a < 0) | ∞ (respectiv −∞) |
a / ∞, cu a real | 0 |
a / 0⁺, cu a > 0 | +∞ |
a / 0⁻, cu a > 0 | −∞ |
qˣ când x → ∞ | ∞ dacă q > 1, 0 dacă 0 ≤ q < 1 |
Cele 7 nedeterminări
„Nedeterminare” nu înseamnă că limita nu există, ci că rezultatul nu se poate citi direct: depinde de funcție. Fiecare tip are metoda lui, prezentată mai jos.
Metode de calcul, pe tipuri
1. Raport de polinoame la ±∞ (∞/∞)
Dai factor forțat puterea cea mai mare de la numărător și de la numitor. Rezultatul depinde doar de grade:
grad P = grad Q ⇒ lim = raportul coeficienților dominanți
grad P > grad Q ⇒ lim = ±∞ (semnul dat de coeficienți și de sensul lui x)
a) limx→∞ (3x² − x + 1)/(2x² + 5) = lim x²(3 − 1/x + 1/x²) / x²(2 + 5/x²) = 3/2.
b) limx→∞ (2x³ + x)/(x² + 1) = +∞, pentru că gradul numărătorului e mai mare, iar coeficienții dominanți sunt pozitivi.
c) limx→−∞ (x + 1)/(x² − x) = 0, pentru că gradul numărătorului e mai mic.
2. Raport de polinoame într-un punct (0/0)
Dacă înlocuind obții 0/0, atunci a este rădăcină pentru ambele polinoame, deci ambele se divid cu (x − a). Descompui în factori și simplifici.
limx→2 (x² − 4)/(x² − 3x + 2). Înlocuind: 0/0.
(x² − 4)/(x² − 3x + 2) = (x − 2)(x + 2) / ((x − 2)(x − 1)) = (x + 2)/(x − 1), pentru x ≠ 2.
Limita este (2 + 2)/(2 − 1) = 4.
3. Expresii cu radicali (∞ − ∞ sau 0/0)
Amplifici cu conjugata, ca să folosești (√A − B)(√A + B) = A − B².
a) limx→∞ (√(x² + x) − x) = lim (x² + x − x²)/(√(x² + x) + x) = lim x / (x(√(1 + 1/x) + 1)) = 1/2.
b) limx→1 (√(x + 3) − 2)/(x − 1) = lim (x + 3 − 4)/((x − 1)(√(x + 3) + 2)) = lim 1/(√(x + 3) + 2) = 1/4.
4. Nedeterminarea 1∞
Aduci expresia la forma (1 + u(x))1/u(x), cu u(x) → 0, care tinde la e. Concret:
De exemplu, limx→∞ (1 + 2/x)ˣ = elim (2/x)·x = e². Toate variantele acestei formule sunt adunate în lista limitelor remarcabile.
5. Regulile lui l'Hospital
Pentru 0/0 sau ∞/∞, dacă f și g sunt derivabile lângă punct și limita raportului derivatelor există:
Ai nevoie de tabelul de derivate. Regula se poate aplica de mai multe ori, cu condiția ca după fiecare pas să ai din nou o nedeterminare de tipul 0/0 sau ∞/∞. Regulile lui l'Hospital fac parte din programa M1; dacă ești la altă programă, verifică dacă le ai în listă — altfel folosește metodele algebrice și limitele remarcabile.
limx→0 (eˣ − 1 − x)/x² este de tipul 0/0.
Derivăm: lim (eˣ − 1)/(2x) — din nou 0/0. Derivăm încă o dată: lim eˣ/2 = 1/2.
6. Produse de tipul 0 · ∞
Transformi produsul într-un raport, apoi aplici l'Hospital sau o comparație de creșteri. Două rezultate de reținut:
limx→0, x>0 x · ln x = lim ln x / (1/x) = lim (1/x)/(−1/x²) = lim (−x) = 0
7. Funcții mărginite: criteriul cleștelui
Funcțiile sin și cos nu au limită la ∞, dar sunt mărginite: −1 ≤ sin x ≤ 1. Dacă o funcție mărginită este înmulțită cu ceva care tinde la 0, produsul tinde la 0. Formal, folosești criteriul cleștelui: dacă g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) și g, h au aceeași limită L, atunci și f are limita L.
limx→∞ (sin x)/x. Pentru x > 0 avem −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x, iar ambele margini tind la 0. Deci limita este 0.
Dacă ai fi încercat l'Hospital (deși aici nu avem nedeterminare de tipul ∞/∞, ci „mărginit/∞”), ai fi ajuns la lim cos x, care nu există — o capcană clasică.
Exercițiu complet în stil BAC
Se consideră f : (−1, +∞) → ℝ, f(x) = (x² + 3)/(x + 1).
a) Calculați limx→∞ f(x)/x.
Rezolvare: f(x)/x = (x² + 3)/(x² + x); gradele sunt egale, deci limita este 1.
b) Calculați limx→−1, x>−1 f(x).
Rezolvare: numărătorul tinde la 4, iar numitorul la 0⁺ (pentru x > −1, avem x + 1 > 0). Deci limita este +∞.
c) Calculați limx→∞ (f(x) − x).
Rezolvare: f(x) − x = (x² + 3 − x² − x)/(x + 1) = (3 − x)/(x + 1), iar limita este −1.
Observă că a) și c) îți dau exact asimptota oblică y = x − 1, iar b) — asimptota verticală x = −1.
Greșeli frecvente
Atenție:
- „1∞ = 1”. Este o nedeterminare; rezultatul este o putere a lui e și poate fi orice număr pozitiv.
- Semnul lui 0 ignorat. La
a/0trebuie stabilit dacă numitorul tinde la0⁺sau la0⁻; altfel nu știi dacă limita este+∞sau−∞. - l'Hospital fără nedeterminare. La
limx→0 (x + 1)/(x + 2)rezultatul este1/2prin înlocuire; derivarea ar da greșit 1. - Derivata raportului în loc de raportul derivatelor. l'Hospital cere
f′/g′, nu(f/g)′. - Factor forțat greșit la −∞.
√(x²) = |x| = −xpentru x < 0. La limite spre−∞cu radicali, aici se pierd cele mai multe puncte.
Sfat: Înainte de orice metodă, scrie pe ciornă tipul nedeterminării. Nedeterminarea îți dictează metoda: 0/0 cu polinoame → factorizare; cu radicali → conjugată; 1∞ → numărul e; restul → l'Hospital (dacă e în programa ta).
Întrebări frecvente
Ce fac dacă la înlocuire obțin un număr împărțit la zero?
Dacă numărătorul tinde la un număr nenul și numitorul la 0, limita este infinită. Calculezi limitele laterale ca să afli semnul: numitorul tinde la 0⁺ sau la 0⁻ în funcție de partea din care se apropie x.
Pot folosi regulile lui l'Hospital la orice limită?
Nu. Regulile se aplică doar nedeterminărilor de tipul 0/0 și ∞/∞. Celelalte nedeterminări (0 · ∞, ∞ − ∞, 1 la puterea ∞) trebuie mai întâi transformate într-un raport. În plus, regulile fac parte din programa M1, așa că verifică dacă sunt în programa ta.
Când există limita unei funcții într-un punct?
Într-un punct finit a, limita există dacă limita la stânga și limita la dreapta există și sunt egale. Valoarea funcției în a nu contează pentru existența limitei.