Modulul: definiție și interpretare
Modulul (sau valoarea absolută) unui număr real x este:
|x| = −x, dacă x < 0
De exemplu, |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. Atenție la forma −x: când x este negativ, −x este pozitiv. Modulul nu „șterge minusul”, ci schimbă semnul expresiei atunci când ea este negativă.
Interpretarea geometrică te ajută enorm: |a − b| este distanța dintre punctele a și b pe axa numerelor. Așadar |x − 3| = 2 înseamnă „x se află la distanța 2 de 3”, adică x = 1 sau x = 5.
O legătură pe care o folosești des la calcule cu radicali:
Calculați √((1 − √2)²) + √2.
Rezolvare: √((1 − √2)²) = |1 − √2|. Cum √2 > 1, numărul 1 − √2 este negativ, deci |1 − √2| = √2 − 1. Rezultatul este √2 − 1 + √2 = 2√2 − 1.
Proprietățile modulului
|x · y| = |x| · |y|
|x / y| = |x| / |y|, y ≠ 0
|x + y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiului)
|x|² = x²
Pentru ecuații și inecuații sunt esențiale echivalențele de mai jos, valabile pentru a > 0:
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a sau x ≥ a
Dacă a < 0, ecuația |x| = a nu are soluții, iar inecuația |x| ≥ a este adevărată pentru orice x real.
Ecuații și inecuații cu modul
Există trei situații tipice, fiecare cu metoda ei:
|E(x)| = a, cu a număr: scrii directE(x) = asauE(x) = −a.|E(x)| = F(x), cu F expresie: pui condițiaF(x) ≥ 0, apoi rezolviE(x) = F(x)sauE(x) = −F(x)și păstrezi doar soluțiile care respectă condiția.- Mai multe module: afli unde se anulează fiecare expresie din modul, împarți axa în intervale și explicitezi modulele pe fiecare interval.
Sfat: la metoda pe intervale, fă un mic tabel cu semnul fiecărei expresii din modul pe fiecare interval. Îți ia un minut și elimină aproape toate greșelile de semn. Este aceeași idee ca la tabelul de semn al funcției de gradul I.
Partea întreagă și partea fracționară
Partea întreagă a numărului real x, notată [x], este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. Partea fracționară este ce rămâne: {x} = x − [x].
{x} = x − [x], cu 0 ≤ {x} < 1
[x + k] = [x] + k, pentru orice k ∈ ℤ
| x | [x] | {x} |
|---|---|---|
| 2,7 | 2 | 0,7 |
| 5 | 5 | 0 |
| −2,3 | −3 | 0,7 |
| −0,5 | −1 | 0,5 |
| √10 | 3 | √10 − 3 |
Rândurile cu numere negative sunt cele care contează: [−2,3] = −3, nu −2, pentru că −3 este cel mai mare întreg aflat la stânga lui −2,3. Partea fracționară este întotdeauna pozitivă sau zero.
Metoda standard pentru ecuații cu parte întreagă: dacă [E(x)] = k, cu k întreg, atunci k ≤ E(x) < k + 1. Iar dacă necunoscuta apare și în afara părții întregi, notezi [x] = k și exprimi x în funcție de k.
Exerciții rezolvate
Rezolvați în ℝ ecuația |2x − 3| = 5.
Rezolvare: 2x − 3 = 5 sau 2x − 3 = −5, deci x = 4 sau x = −1. Mulțimea soluțiilor este S = {−1, 4}.
Determinați câte numere întregi verifică inecuația |x − 2| ≤ 3.
Rezolvare: −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5. Numerele întregi din [−1, 5] sunt −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, adică 7 numere. Geometric: punctele aflate la distanță cel mult 3 de 2.
Rezolvați ecuația |x − 1| + |x + 2| = 5.
Rezolvare: expresiile se anulează în 1 și −2. Analizăm trei intervale:
x < −2: ambele expresii sunt negative, ecuația devine−(x − 1) − (x + 2) = 5 ⇔ −2x − 1 = 5 ⇔ x = −3, care aparține intervalului. ✓−2 ≤ x < 1:−(x − 1) + (x + 2) = 3, iar3 ≠ 5, deci nicio soluție.x ≥ 1:(x − 1) + (x + 2) = 5 ⇔ 2x + 1 = 5 ⇔ x = 2, care aparține intervalului. ✓
Deci S = {−3, 2}. Verificare: |−4| + |−1| = 5 și |1| + |4| = 5.
Rezolvați ecuația |x² − 4| = 3x.
Rezolvare: membrul stâng este nenegativ, deci punem condiția 3x ≥ 0, adică x ≥ 0.
Cazul x² − 4 = 3x: x² − 3x − 4 = 0, cu soluțiile 4 și −1. Cazul x² − 4 = −3x: x² + 3x − 4 = 0, cu soluțiile 1 și −4.
Din condiția x ≥ 0 rămân S = {1, 4}. Verificare: |1 − 4| = 3 = 3·1 și |16 − 4| = 12 = 3·4.
Rezolvați ecuația [(2x + 1)/3] = 2.
Rezolvare: din definiție, 2 ≤ (2x + 1)/3 < 3. Înmulțim cu 3: 6 ≤ 2x + 1 < 9, apoi 5 ≤ 2x < 8, deci x ∈ [5/2, 4).
Rezolvați ecuația [x] = (x + 1)/2.
Rezolvare: notăm [x] = k ∈ ℤ. Atunci (x + 1)/2 = k, deci x = 2k − 1. Condiția k ≤ x < k + 1 devine k ≤ 2k − 1 < k + 1, adică k ≥ 1 și k < 2. Singura valoare întreagă este k = 1, de unde x = 1. Verificare: [1] = 1 = (1 + 1)/2.
Calculați [√2 + √3].
Rezolvare: ridicăm la pătrat: (√2 + √3)² = 5 + 2√6. Cum 2 < √6 < 3, avem 9 < 5 + 2√6 < 11 < 16, deci 3 < √2 + √3 < 4. Prin urmare [√2 + √3] = 3. Încadrarea între doi întregi consecutivi este metoda corectă de redactare; o aproximare cu calculatorul nu este o justificare.
Greșeli frecvente
Partea întreagă a numerelor negative. [−2,3] = −3, nu −2. Partea întreagă nu înseamnă „taie zecimalele”, ci „rotunjește în jos”.
Condiția uitată la |E(x)| = F(x). Fără condiția F(x) ≥ 0 poți păstra soluții false, cum ar fi −1 și −4 în Exercițiul 4. Dacă nu pui condiția, cel puțin verifică fiecare soluție în ecuația inițială.
Soluții din afara intervalului. La metoda pe intervale, o soluție găsită pe un interval este acceptată doar dacă aparține acelui interval.
√(x²) = x? Doar dacă x ≥ 0. În general √(x²) = |x|. Aceeași capcană apare la ecuațiile iraționale, când ridici la pătrat fără să pui condiții.
Modulul reapare mai târziu în multe capitole: la modulul unui număr complex, la limite laterale, la integrale din funcții cu modul (unde îl explicitezi pe intervale, exact ca mai sus) și la distanța dintre rădăcinile unei ecuații de gradul al II-lea. Merită să stăpânești bine metoda pe intervale încă de acum. Dacă vrei să reiei și notațiile pentru mulțimi și intervale, vezi Mulțimi și elemente de logică matematică.
Întrebări frecvente
Cât este partea întreagă a unui număr negativ?
Partea întreagă este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu numărul. De exemplu, [−2,3] = −3 și [−0,5] = −1. Partea fracționară corespunzătoare este pozitivă: {−2,3} = 0,7.
Cum rezolv o ecuație cu două module?
Afli punctele în care se anulează expresiile din module, împarți axa reală în intervale, explicitezi fiecare modul pe fiecare interval și rezolvi ecuația obținută. Păstrezi doar soluțiile care aparțin intervalului pe care lucrezi.
Este √(x²) egal cu x?
Nu întotdeauna. Pentru orice x real, √(x²) = |x|. Egalitatea √(x²) = x este adevărată doar când x ≥ 0.