Aria subgraficului unei funcții
Fie f : [a, b] → ℝ o funcție continuă. Suprafața delimitată de graficul lui f, axa Ox și dreptele verticale x = a și x = b se numește subgraficul funcției, notat Γf. Aria ei este:
Dacă f(x) ≥ 0 pe [a, b]: Aria(Γf) = ∫ab f(x) dx
Enunțurile de BAC formulează cerința în două feluri echivalente: „aria suprafeței delimitate de graficul funcției, axa Ox și dreptele de ecuații x = a și x = b” sau „aria subgraficului funcției”. Calculul este același. Aplicațiile acestea apar la Subiectul al III-lea, problema 2, de obicei la punctul b) sau c). Aria este prezentă la toate programele cu integrale, iar volumul corpului de rotație apare la M1 și M2; dacă ești la M3, verifică programa ta pentru volum.
Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției f(x) = x² + 1, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 3.
Rezolvare: f(x) = x² + 1 > 0 pentru orice x, deci
Aria = ∫03 (x² + 1) dx = (x³/3 + x) |03 = 9 + 3 = 12.
Fie f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = (ln x)/x. Calculați aria suprafeței delimitate de graficul lui f, axa Ox și dreptele x = 1 și x = e.
Rezolvare: Pentru x ∈ [1, e], ln x ≥ 0 și x > 0, deci f(x) ≥ 0. Atunci
Aria = ∫1e (ln x)/x dx = (ln²x)/2 |1e = 1/2 − 0 = 1/2.
Primitiva (ln²x)/2 se obține cu substituția t = ln x, explicată în Integrarea prin părți și schimbarea de variabilă.
Determinați a > 0 pentru care aria subgraficului funcției f(x) = x² pe [0, a] este egală cu 9.
Rezolvare: x² ≥ 0, deci Aria = ∫0a x² dx = a³/3. Din a³/3 = 9 rezultă a³ = 27, deci a = 3.
Când funcția își schimbă semnul
Dacă f este negativă pe o parte a intervalului, integrala simplă ar scădea acea porțiune în loc s-o adune. Soluția: găsești zerourile lui f din [a, b], împarți intervalul în ele și integrezi pe fiecare bucată funcția cu semnul potrivit.
Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției f(x) = x² − 1, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.
Rezolvare: f(x) = 0 ⇔ x = ±1; în [0, 2] contează doar x = 1. Pe [0, 1] avem f(x) ≤ 0, iar pe [1, 2] avem f(x) ≥ 0.
∫01 (1 − x²) dx = (x − x³/3) |01 = 2/3;
∫12 (x² − 1) dx = (x³/3 − x) |12 = (8/3 − 2) − (1/3 − 1) = 2/3 + 2/3 = 4/3.
Aria totală este 2/3 + 4/3 = 2. Pentru comparație, ∫02 (x² − 1) dx = 2/3 — un rezultat greșit pentru arie.
Semnul unei funcții de gradul al doilea îl citești rapid din regula „semnul lui a în afara rădăcinilor”, recapitulată în articolul despre funcția de gradul al II-lea.
Aria dintre două grafice
Pentru două funcții continue f, g : [a, b] → ℝ, aria suprafeței cuprinse între graficele lor și dreptele x = a, x = b este:
Dacă g(x) ≤ f(x) pe [a, b]: Aria = ∫ab (f(x) − g(x)) dx
Altfel spus: „funcția de sus minus funcția de jos”. Dacă dreptele verticale nu sunt date, capetele sunt abscisele punctelor de intersecție, adică soluțiile ecuației f(x) = g(x).
Calculați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor f(x) = x și g(x) = x².
Rezolvare: x = x² ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}. Pe [0, 1] avem x − x² = x(1 − x) ≥ 0, deci dreapta este deasupra parabolei.
Aria = ∫01 (x − x²) dx = (x²/2 − x³/3) |01 = 1/2 − 1/3 = 1/6.
Sfat: nu ai nevoie de desen ca să știi care funcție e deasupra. Ia un punct oarecare din interval (de exemplu x = 1/2) și compară valorile: f(1/2) = 1/2 > 1/4 = g(1/2). Totuși, pentru rigoare, în lucrare justifică semnul diferenței pe tot intervalul.
Volumul corpului de rotație
Dacă rotești subgraficul unei funcții continue f : [a, b] → ℝ în jurul axei Ox, obții un corp de rotație Cf. Fiecare secțiune perpendiculară pe Ox este un disc de rază |f(x)|, cu aria π·f²(x). „Adunând” discurile obții:
O verificare care merită făcută o dată: pentru f(x) = (r/h)·x pe [0, h], rotația dă un con cu raza bazei r și înălțimea h, iar formula dă π·(r²/h²)·h³/3 = πr²h/3 — exact volumul conului din geometrie.
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției f : [0, 4] → ℝ, f(x) = √x.
Rezolvare: f²(x) = x, deci V = π∫04 x dx = π·x²/2 |04 = π·8 = 8π.
Calculați volumul corpului de rotație determinat de f : [0, 1] → ℝ, f(x) = eˣ.
Rezolvare: f²(x) = e²ˣ, iar o primitivă a lui e²ˣ este e²ˣ/2.
V = π∫01 e²ˣ dx = π·e²ˣ/2 |01 = π(e² − 1)/2.
Calculați volumul corpului de rotație determinat de f : [0, π] → ℝ, f(x) = sin x.
Rezolvare: Folosim sin²x = (1 − cos 2x)/2, din formulele trigonometrice:
V = π∫0π (1 − cos 2x)/2 dx = (π/2)·(x − (sin 2x)/2) |0π = (π/2)·π = π²/2.
Cum redactezi la examen
- Scrie formula:
Aria = ∫ab |f(x)| dxsauV = π∫ab f²(x) dx. - La arie, justifică semnul funcției (sau al diferenței
f − g) pe interval și elimină modulul. - Calculează integrala cu formula Leibniz–Newton.
- Scrie concluzia clar: „Aria este egală cu 1/6.”
Fiecare pas aduce puncte în barem, așa că nu sări peste justificarea semnului chiar dacă ți se pare evidentă.
Greșeli frecvente
- Arie negativă. Dacă obții o arie negativă, sigur ai uitat modulul sau ai inversat funcțiile.
- Lipsa lui π din formula volumului sau ridicarea la pătrat uitată:
π∫ f dxnu este volumul. - Pătratul unei sume calculat greșit:
(x + 1)² = x² + 2x + 1, nux² + 1. - Capete inventate. La aria dintre două grafice fără drepte date, capetele vin din rezolvarea ecuației
f(x) = g(x). - Neglijarea zerourilor din interior. Vezi Exemplul 4: un singur zero în interval schimbă complet rezultatul.
Întrebări frecvente
De ce pun modul în formula ariei?
Pentru că aria este întotdeauna pozitivă, în timp ce integrala unei funcții negative este negativă. Modulul asigură că porțiunile de grafic aflate sub axa Ox contribuie pozitiv la arie. În practică, studiezi semnul funcției și împarți intervalul acolo unde se schimbă semnul.
Trebuie să mai pun modul la volum?
Nu. În formula volumului V = π∫ f²(x) dx funcția apare la pătrat, iar f²(x) ≥ 0 oricare ar fi semnul lui f. De aceea nu este nevoie să studiezi semnul funcției.
În ce unități scriu rezultatul?
La BAC rezultatul se scrie ca număr, fără unități de măsură, de exemplu Aria = 1/6 sau V = 8π. Este suficient să indici clar ce reprezintă numărul obținut.