Notații și unde apar
Într-un triunghi ABC, notăm laturile opuse vârfurilor cu litere mici: a = BC, b = AC, c = AB. Unghiurile se notează cu A, B, C, iar suma lor este 180°. Mai folosim R pentru raza cercului circumscris, r pentru raza cercului înscris, S pentru arie și p = (a + b + c)/2 pentru semiperimetru.
Aceste teoreme sunt partea de „aplicații ale trigonometriei în geometrie” din clasa a IX-a. La BAC apar în exercițiul de geometrie de la Subiectul I, unde valorează 5 puncte și se rezolvă de obicei în câteva rânduri, dacă știi ce formulă să alegi. Sunt prezente la M1 și M2, iar problemele de rezolvare a triunghiului apar și la M3; verifică totuși în programa ta lista exactă a formulelor.
Teorema sinusurilor
În orice triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu diametrul cercului circumscris:
Teorema îți dă două tipuri de informații: o relație între laturi și unghiuri opuse și, dintr-o singură pereche „latură–unghi opus”, raza cercului circumscris. Consecința imediată: în orice triunghi, latura mai mare se opune unghiului mai mare.
Teorema cosinusului
Este generalizarea teoremei lui Pitagora la orice triunghi:
b² = a² + c² − 2ac · cos B
c² = a² + b² − 2ab · cos C
cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
Ultima formă este cea pe care o folosești când cunoști toate laturile și vrei un unghi. Semnul lui cos A îți spune imediat natura unghiului, de unde regula pentru natura triunghiului, unde a este latura cea mai mare:
a² = b² + c² ⇒ triunghi dreptunghic (în A)
a² > b² + c² ⇒ triunghi obtuzunghic (în A)
Din teorema cosinusului se deduce și lungimea medianei din A (utilă mai ales la M1):
Aria, raza cercului circumscris și înscris
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) (formula lui Heron)
R = abc / (4S), r = S / p
Formula cu sinusul este cea mai folosită: „două laturi și sinusul unghiului dintre ele, împărțit la doi”. Heron este alegerea naturală când ai toate cele trei laturi.
Sfat: valorile de sinus și cosinus pentru unghiurile de 30°, 45°, 60°, 120°, 135° și 150° trebuie să-ți vină instant. Le găsești, împreună cu reducerea la primul cadran, în tabelul de formule trigonometrice.
Ce teoremă aleg?
| Ce cunoști | Ce cauți | Ce folosești |
|---|---|---|
| Două laturi și unghiul dintre ele | A treia latură | Teorema cosinusului |
| Toate cele trei laturi | Un unghi | Teorema cosinusului (forma cu cos A) |
| O latură și unghiul opus | Raza R | Teorema sinusurilor |
| Două unghiuri și o latură | Celelalte laturi | Teorema sinusurilor |
| Două laturi și unghiul dintre ele | Aria | S = (bc · sin A)/2 |
| Toate laturile | Aria, R, r | Heron, apoi R = abc/(4S), r = S/p |
Exemple rezolvate
În triunghiul ABC se cunosc AB = 4, AC = 6 și m(∢A) = 60°. Calculați lungimea laturii BC și aria triunghiului.
Rezolvare: Teorema cosinusului: BC² = 16 + 36 − 2 · 4 · 6 · cos 60° = 52 − 48 · (1/2) = 28, deci BC = √28 = 2√7.
Aria: S = (AB · AC · sin 60°)/2 = (4 · 6 · √3/2)/2 = 6√3.
Bonus (mediana din A): ma² = [2(16 + 36) − 28]/4 = 76/4 = 19, deci ma = √19.
Triunghiul ABC are BC = 6 și m(∢A) = 30°. Calculați raza cercului circumscris.
Rezolvare: Din teorema sinusurilor, BC / sin A = 2R, adică 6 / (1/2) = 2R, deci 12 = 2R și R = 6.
Triunghiul ABC are AB = 5, BC = 8, AC = 7. Calculați m(∢B), aria, R și r.
Rezolvare: Unghiul B este cuprins între AB și BC și se opune laturii AC:
cos B = (AB² + BC² − AC²)/(2 · AB · BC) = (25 + 64 − 49)/80 = 40/80 = 1/2, deci m(∢B) = 60°.
Aria: S = (5 · 8 · sin 60°)/2 = 10√3. Verificare cu Heron: p = 10, S = √(10 · 5 · 2 · 3) = √300 = 10√3 ✓.
R = abc/(4S) = (8 · 7 · 5)/(40√3) = 7/√3 = 7√3/3 și r = S/p = 10√3/10 = √3.
Stabiliți natura triunghiului cu laturile 4, 5 și 7.
Rezolvare: Latura cea mai mare este 7. Comparăm: 7² = 49 și 4² + 5² = 41. Cum 49 > 41, unghiul opus laturii de lungime 7 este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic. Concret, cosinusul acestui unghi este (16 + 25 − 49)/40 = −1/5 < 0.
În triunghiul ABC, m(∢B) = 45°, m(∢C) = 60° și AC = 4. Calculați AB.
Rezolvare: AC se opune lui B, iar AB se opune lui C. Teorema sinusurilor: AB / sin C = AC / sin B, deci
AB = 4 · sin 60° / sin 45° = 4 · (√3/2)/(√2/2) = 4√3/√2 = 2√6.
Dacă se cere și BC: m(∢A) = 75°, iar BC = 4 · sin 75°/sin 45° = 2√3 + 2, folosind sin 75° = (√6 + √2)/4.
Greșeli frecvente
- Unghi și latură nepereche: în teorema sinusurilor, fiecare latură se împarte la sinusul unghiului opus ei. Desenează triunghiul și marchează perechile.
- Uitarea lui 2 în
2R: raportula / sin Aeste diametrul, nu raza. - Semnul lui
cospentru unghiuri obtuze:cos 120° = −1/2, așa că−2bc · cos 120°devine+bc. - Unghi aflat din sinus:
sin B = 1/2înseamnăB = 30°sauB = 150°. Elimini varianta imposibilă cu suma unghiurilor sau cu regula „latura mai mare se opune unghiului mai mare”. Cosinusul nu are această ambiguitate. - Natura triunghiului verificată pe altă latură decât cea mai mare — concluzia poate fi greșită.
Aceleași probleme se pot rezolva uneori și analitic, plasând triunghiul într-un reper și folosind vectori sau ecuația dreptei; alege metoda în care te simți mai sigur. Pentru un antrenament orientat pe viteză, combină aceste exerciții cu sfaturile din Cum să rezolvi rapid Subiectul I.
Întrebări frecvente
Când folosesc teorema sinusurilor și când teorema cosinusului?
Teorema sinusurilor se folosește când cunoști o latură și unghiul opus ei, plus încă un element (alt unghi sau altă latură), și când se cere raza cercului circumscris. Teorema cosinusului se folosește când cunoști două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi.
Cum aflu dacă un triunghi este obtuzunghic?
Compari pătratul celei mai lungi laturi cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă a² > b² + c², unghiul opus laturii a este obtuz; dacă a² = b² + c², este drept; dacă a² < b² + c², toate unghiurile sunt ascuțite.
Teorema cosinusului funcționează și pentru triunghiul dreptunghic?
Da. Dacă unghiul A este drept, cos A = 0 și formula a² = b² + c² − 2bc·cos A devine a² = b² + c², adică teorema lui Pitagora. Teorema cosinusului este generalizarea ei pentru orice triunghi.