Formula binomului lui Newton
Pentru orice numere reale (sau complexe) a, b și orice număr natural n ≥ 1:
Câteva observații care te ajută să citești formula:
- dezvoltarea are
n + 1termeni; - exponentul lui
ascade de lanla 0, iar exponentul luibcrește de la 0 lan; suma lor este mereun; - numerele
Cₙ⁰, Cₙ¹, …, Cₙⁿse numesc coeficienți binomiali, iar termenii egal depărtați de capete au coeficienți binomiali egali, pentru căCₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
Pentru (a − b)ⁿ scrii (a + (−b))ⁿ: semnele termenilor alternează, iar termenul cu bᵏ are semnul (−1)ᵏ.
Binomul lui Newton este în programa clasei a X-a, la capitolul „Metode de numărare”, și apare mai ales la M1 (mate-info), la Subiectul I. Pentru combinări, care sunt baza întregului capitol, vezi Permutări, aranjamente și combinări.
Termenul general
Formula pe care o vei folosi în aproape toate exercițiile este cea a termenului de rang k + 1:
Atenție la indice: termenul Tₖ₊₁ conține Cₙᵏ. Primul termen este T₁ (cu k = 0), al cincilea este T₅ (cu k = 4). Dacă n este par, există un singur termen din mijloc, Tn/2 + 1, cu cel mai mare coeficient binomial.
Sfat: Rețeta pentru exercițiile cu „termenul care…”: (1) scrie Tₖ₊₁; (2) adu toate puterile lui x la forma x^(expresie în k); (3) pune condiția cerută pe exponent; (4) rezolvă în k și verifică k ∈ {0, 1, …, n}.
Dezvoltarea completă
Dezvoltați (x + 2)⁴.
Rezolvare: Coeficienții binomiali pentru n = 4 sunt 1, 4, 6, 4, 1. Atunci:
(x + 2)⁴ = x⁴ + 4 · x³ · 2 + 6 · x² · 4 + 4 · x · 8 + 16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Verificare rapidă: pentru x = 1, membrul stâng este 3⁴ = 81, iar cel drept 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81. ✓
Determinați coeficientul lui x³ din dezvoltarea (1 + 2x)⁵.
Rezolvare: Tₖ₊₁ = C₅ᵏ · 1⁵⁻ᵏ · (2x)ᵏ = C₅ᵏ · 2ᵏ · xᵏ. Pentru x³ avem k = 3, deci coeficientul este C₅³ · 2³ = 10 · 8 = 80.
Determinați coeficientul lui x² din dezvoltarea (x − 2)⁵.
Rezolvare: Scriem (x + (−2))⁵, deci Tₖ₊₁ = C₅ᵏ · x⁵⁻ᵏ · (−2)ᵏ. Pentru x² trebuie 5 − k = 2, adică k = 3. Coeficientul este C₅³ · (−2)³ = 10 · (−8) = −80.
Semnul minus provine din puterea impară a lui −2; dacă l-ai fi pierdut, ai fi obținut 80, un răspuns greșit.
Atenție: „Coeficientul binomial” al termenului T₄ este C₅³ = 10, dar „coeficientul” lui x³ este 80. Citește enunțul de două ori: diferența dintre cele două valori costă des puncte.
Termenul care nu îl conține pe x
Este cel mai frecvent tip de exercițiu. Termenul care nu îl conține pe x (termenul liber) corespunde exponentului 0.
Determinați termenul care nu îl conține pe x din dezvoltarea (x + 1/x)⁶, x ≠ 0.
Rezolvare: Tₖ₊₁ = C₆ᵏ · x⁶⁻ᵏ · (1/x)ᵏ = C₆ᵏ · x⁶⁻ᵏ · x⁻ᵏ = C₆ᵏ · x⁶⁻²ᵏ.
Condiția: 6 − 2k = 0, deci k = 3. Termenul căutat este T₄ = C₆³ = 20.
Determinați termenul care nu îl conține pe x din dezvoltarea (x² + 1/x)⁹, x ≠ 0.
Rezolvare: Tₖ₊₁ = C₉ᵏ · (x²)⁹⁻ᵏ · x⁻ᵏ = C₉ᵏ · x¹⁸⁻²ᵏ⁻ᵏ = C₉ᵏ · x¹⁸⁻³ᵏ.
Din 18 − 3k = 0 rezultă k = 6, iar termenul este T₇ = C₉⁶ = C₉³ = 84.
Dacă ecuația în k nu are soluție naturală între 0 și n, concluzia corectă este că dezvoltarea nu are termen liber. De exemplu, în (x + 1/x)⁵ exponentul este 5 − 2k, care nu poate fi 0 pentru k natural.
Când exponenții sunt radicali, de pildă (√x + 1/∛x)ⁿ, scrie-i ca puteri fracționare (√x = x^(1/2), 1/∛x = x^(−1/3)) înainte de a aduna exponenții. Calculul cu puteri este același ca la ecuațiile exponențiale.
Termeni raționali
Un termen este rațional atunci când toți radicalii din el „dispar”, adică exponenții devin numere întregi.
Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea (√3 + ∛2)¹⁰.
Rezolvare: Tₖ₊₁ = C₁₀ᵏ · 3^((10 − k)/2) · 2^(k/3), cu k ∈ {0, 1, …, 10}.
Termenul este rațional dacă (10 − k)/2 ∈ ℕ și k/3 ∈ ℕ, adică k par și k multiplu de 3. Deci k este multiplu de 6: k ∈ {0, 6}.
Există 2 termeni raționali: T₁ = 3⁵ = 243 și T₇ = C₁₀⁶ · 3² · 2² = 210 · 36 = 7560.
Suma coeficienților
Două sume apar des și nu trebuie confundate:
Suma coeficienților dezvoltării lui (ax + b)ⁿ: se obține punând x = 1, adică (a + b)ⁿ
De exemplu, suma coeficienților dezvoltării (2x − 1)⁵ este (2 − 1)⁵ = 1, deși suma coeficienților binomiali este 2⁵ = 32.
Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării (x + 1/x)ⁿ este 64. Determinați termenul din mijloc.
Rezolvare: 2ⁿ = 64 = 2⁶, deci n = 6. Dezvoltarea are 7 termeni, iar cel din mijloc este T₄, cu k = 3: T₄ = C₆³ · x³ · x⁻³ = 20.
Un alt tip de condiție pentru n: „suma coeficienților binomiali ai primilor trei termeni este 22”. Atunci 1 + n + n(n − 1)/2 = 22, adică n² + n − 42 = 0, de unde n = 6 (soluția n = −7 se elimină).
Greșeli frecvente
- Confuzia între
TₖșiTₖ₊₁: al cincilea termen arek = 4, nuk = 5. - Uitarea ridicării coeficientului la putere:
(2x)ᵏ = 2ᵏ xᵏ, nu2xᵏ. - Pierderea semnului la
(a − b)ⁿ: termenul general conține(−1)ᵏ. - Greșeli la adunarea exponenților fracționari; scrie toți radicalii ca puteri înainte de calcul.
Atenție: Ordinea termenilor contează: în (a + b)ⁿ, puterea bᵏ apare în Tₖ₊₁. Dacă inversezi a cu b, rangul termenului se schimbă (deși valoarea termenului liber rămâne aceeași). La „al câtelea termen”, păstrează ordinea din enunț.
Toate formulele capitolului se regăsesc condensat în fișa de formule M1, iar dacă vrei să exersezi și partea de numărare din spate, continuă cu probabilitățile.
Întrebări frecvente
Care este formula termenului general din binomul lui Newton?
Pentru (a + b)ⁿ, termenul de rang k + 1 este Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, cu k ∈ {0, 1, …, n}.
Câți termeni are dezvoltarea lui (a + b)ⁿ?
Dezvoltarea are n + 1 termeni. Dacă n este par, există un singur termen din mijloc, cel de rang n/2 + 1.
Care este suma coeficienților binomiali?
Suma Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ este 2ⁿ. Suma coeficienților unei dezvoltări concrete se obține înlocuind variabila cu 1.