Noțiuni de bază și notații
O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. O mulțime poate fi dată în două feluri:
- prin enumerare:
A = {1, 2, 3, 4}; - printr-o proprietate caracteristică:
A = {x ∈ ℕ | 1 ≤ x ≤ 4}, adică „mulțimea numerelor naturale x cu proprietatea că 1 ≤ x ≤ 4”.
Mulțimile de numere pe care le folosești constant sunt ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Asteriscul elimină zeroul: ℕ* = {1, 2, 3, …}. Mulțimea fără niciun element este mulțimea vidă, notată ∅.
A ⊆ B — orice element al lui A este și element al lui B
A = B ⇔ A ⊆ B și B ⊆ A
Ordinea elementelor și repetițiile nu contează: {1, 2, 2, 3} = {3, 1, 2}, iar această mulțime are 3 elemente.
Operații cu mulțimi
| Operație | Notație | Definiție |
|---|---|---|
| Reuniune | A ∪ B | {x | x ∈ A sau x ∈ B} |
| Intersecție | A ∩ B | {x | x ∈ A și x ∈ B} |
| Diferență | A \ B | {x | x ∈ A și x ∉ B} |
| Complementară (față de E) | CEA | {x ∈ E | x ∉ A} |
| Produs cartezian | A × B | {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} |
Două mulțimi cu A ∩ B = ∅ se numesc disjuncte. Reține că A \ B și B \ A sunt, în general, diferite, iar A × B ≠ B × A dacă A ≠ B (perechile sunt ordonate).
Proprietăți utile: reuniunea și intersecția sunt comutative și asociative, iar fiecare este distributivă față de cealaltă:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Legile lui De Morgan
Complementara transformă reuniunea în intersecție și invers:
CE(A ∩ B) = CEA ∪ CEB
Aceleași legi apar și în logică, pentru negarea propozițiilor compuse (vezi mai jos): negația lui „p sau q” este „non p și non q”. Merită să le înveți împreună, pentru că sunt aceeași idee scrisă în două limbaje.
Fie E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}. Atunci A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, deci CE(A ∪ B) = {5, 6}.
Pe de altă parte, CEA = {4, 5, 6} și CEB = {1, 3, 5, 6}, iar intersecția lor este {5, 6}. Rezultatele coincid, așa cum spune prima lege.
Cardinalul unei mulțimi
Numărul de elemente al unei mulțimi finite A se notează |A| sau card A. Formulele care apar cel mai des:
|A × B| = |A| · |B|
numărul submulțimilor lui A = 2|A|
Prima formulă (principiul includerii și excluderii) apare natural în probleme de probabilități, când numeri cazurile favorabile. A treia se leagă de combinări: o mulțime cu n elemente are Cnk submulțimi cu k elemente, iar suma lor după k este 2ⁿ.
Intervale de numere reale
Mulțimile de soluții ale inecuațiilor se scriu aproape întotdeauna ca intervale. Paranteza rotundă exclude capătul, cea dreaptă îl include:
(a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}
[a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
La ±∞ paranteza este întotdeauna rotundă. Pentru operații cu intervale, desenează ambele intervale pe aceeași axă — e cea mai sigură metodă de a nu greși capetele. O vei folosi constant la domenii de definiție, de exemplu la ecuațiile iraționale, și la inecuațiile cu modul.
Propoziții și operatori logici
O propoziție este un enunț despre care se poate spune fără ambiguitate dacă este adevărat (valoarea 1) sau fals (valoarea 0). „2 + 3 = 5” este o propoziție adevărată, „√9 = −3” este una falsă, iar „x > 2” nu este propoziție, ci un predicat, pentru că valoarea depinde de x.
| p | q | non p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Rândul care derutează cel mai des este cel al implicației: p → q este falsă doar când p e adevărată și q e falsă. O implicație cu ipoteza falsă este întotdeauna adevărată.
non (p ∧ q) ⇔ (non p) ∨ (non q)
p → q ⇔ (non p) ∨ q
Cuantificatori și negarea lor
Un predicat devine propoziție dacă îl „închizi” cu un cuantificator: ∀ („oricare ar fi”) sau ∃ („există”). La negare, cuantificatorii își schimbă rolul, iar predicatul se neagă:
non (∃x, p(x)) ⇔ ∀x, non p(x)
Ca să arăți că o afirmație „pentru orice” e falsă, îți ajunge un singur contraexemplu. Ca să arăți că e adevărată, ai nevoie de o demonstrație generală.
Exerciții rezolvate
Fie A = {x ∈ ℤ | |x − 1| ≤ 2} și B = {x ∈ ℕ | x² < 10}. Determinați A ∩ B și A \ B.
Rezolvare: |x − 1| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x − 1 ≤ 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3, deci A = {−1, 0, 1, 2, 3}. Numerele naturale cu pătratul mai mic decât 10 sunt 0, 1, 2, 3, deci B = {0, 1, 2, 3}.
Rezultă A ∩ B = {0, 1, 2, 3} și A \ B = {−1}. Observă că B ⊂ A.
Câte submulțimi are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | 2x − 5 ≤ 11}?
Rezolvare: 2x − 5 ≤ 11 ⇔ 2x ≤ 16 ⇔ x ≤ 8. Cum x ∈ ℕ*, avem A = {1, 2, …, 8}, deci |A| = 8. Numărul submulțimilor este 2⁸ = 256 (inclusiv ∅ și A însăși).
Fie A = [−2, 3) și B = (1, 5]. Determinați A ∩ B, A ∪ B și A \ B.
Rezolvare: reprezentând pe axă, partea comună este A ∩ B = (1, 3) — 1 nu aparține lui B, iar 3 nu aparține lui A. Reuniunea acoperă tot de la −2 la 5: A ∪ B = [−2, 5]. Din A scoatem elementele lui B: A \ B = [−2, 1] — de data aceasta 1 rămâne, pentru că nu aparține lui B.
Câte numere naturale de la 1 la 100 se divid cu 2 sau cu 3?
Rezolvare: fie A mulțimea multiplilor lui 2 și B a multiplilor lui 3 din {1, …, 100}. Avem |A| = 50, |B| = 33, iar A ∩ B conține multiplii lui 6: |A ∩ B| = 16. Deci |A ∪ B| = 50 + 33 − 16 = 67.
Fie p: „√16 = 4” și q: „2 > 3”. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor p ∧ q, p ∨ q, p → q. Apoi negați propoziția „∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0”.
Rezolvare: p este adevărată, q este falsă. Atunci p ∧ q este falsă, p ∨ q este adevărată, iar p → q este falsă (adevărat implică fals).
Negația este „∃x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0”. Ea e falsă, deoarece x² + 1 ≥ 1 pentru orice x real — deci propoziția inițială este adevărată.
Greșeli frecvente
Atenție la negația lui „>”. Negația lui x > 0 este x ≤ 0, nu x < 0. La fel, negația lui „≥” este „<”.
Atenție la mulțimea de lucru. Aceeași condiție dă mulțimi diferite în ℕ, ℤ sau ℝ: {x ∈ ℤ | −1,5 < x < 2} = {−1, 0, 1}, dar în ℝ este intervalul (−1,5; 2). Citește întotdeauna cu atenție simbolul de după „∈”.
Atenție la capetele intervalelor la diferență. La A \ B, un capăt exclus din B devine inclus în rezultat, și invers. Desenul pe axă te ferește de această capcană.
Sfat: când o problemă îți cere „mulțimea soluțiilor”, scrie răspunsul final explicit, sub forma S = {…} sau ca interval. Este un obicei care îți face lucrarea mai clară pentru corector și te obligă să verifici dacă soluțiile aparțin mulțimii cerute.
Întrebări frecvente
Ce spun legile lui De Morgan?
Complementara unei reuniuni este intersecția complementarelor, iar complementara unei intersecții este reuniunea complementarelor. În logică, aceleași legi spun că negația lui „p sau q” este „non p și non q”, iar negația lui „p și q” este „non p sau non q”.
Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente?
O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi, incluzând mulțimea vidă și mulțimea însăși. Dintre acestea, C(n, k) au exact k elemente.
Când este falsă o implicație p → q?
Implicația p → q este falsă într-un singur caz: când p este adevărată și q este falsă. În toate celelalte cazuri este adevărată.