Forma unui sistem liniar
Un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute are forma
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Coeficienții necunoscutelor formează matricea sistemului A = (a₁ b₁ c₁; a₂ b₂ c₂; a₃ b₃ c₃), iar termenii liberi formează coloana B = (d₁; d₂; d₃). Sistemul se scrie compact A · X = B, unde X = (x; y; z). Dacă adaugi coloana termenilor liberi la A, obții matricea extinsă, notată de obicei Ā.
Sistemele liniare sunt în programa clasei a XI-a și apar la toate programele, de regulă la Subiectul al II-lea, în aceeași problemă cu matricele și determinanții. Regula lui Cramer este comună tuturor; discuția generală a compatibilității cu ajutorul rangului este mai amplă la M1.
Forma matriceală are un avantaj: dacă A este inversabilă, soluția se poate scrie direct X = A⁻¹ · B. În practică însă, regula lui Cramer este de obicei mai rapidă.
Compatibil sau incompatibil?
Orice sistem liniar se încadrează în una dintre trei categorii:
| Tip | Ce înseamnă | Exemplu 2 × 2 |
|---|---|---|
| Compatibil determinat | Soluție unică | x + y = 2, x − y = 0 → (1, 1) |
| Compatibil nedeterminat | O infinitate de soluții | x + y = 2, 2x + 2y = 4 |
| Incompatibil | Nicio soluție | x + y = 2, 2x + 2y = 5 |
Geometric, pentru două ecuații cu două necunoscute, cele trei cazuri corespund la două drepte concurente, confundate sau paralele. Legătura cu pantele dreptelor este explicată în Ecuația dreptei.
Regula lui Cramer
Un sistem cu același număr de ecuații și necunoscute, al cărui determinant Δ = det A este nenul, se numește sistem de tip Cramer. Un astfel de sistem este compatibil determinat, iar soluția lui este:
unde Δx este determinantul obținut din Δ înlocuind coloana coeficienților lui x cu coloana termenilor liberi (analog pentru Δy și Δz).
Rezolvați sistemul 2x + y = 5, x − y = 1.
Rezolvare: Δ = det (2 1; 1 −1) = −2 − 1 = −3 ≠ 0, deci sistemul este de tip Cramer.
Δx = det (5 1; 1 −1) = −5 − 1 = −6, Δy = det (2 5; 1 1) = 2 − 5 = −3.
Deci x = −6 / (−3) = 2 și y = −3 / (−3) = 1. Verificare: 2·2 + 1 = 5, 2 − 1 = 1. ✓
Sfat: Calculează întâi Δ. Dacă este nenul, ai voie să aplici Cramer; dacă este zero, regula nu se aplică și sistemul trebuie discutat altfel. Un Δ = 0 nu înseamnă automat „incompatibil”.
Un sistem 3 × 3 rezolvat complet
Rezolvați sistemul x + y + z = 6, x − y + 2z = 5, 2x + y − z = 1.
Determinantul sistemului, A = (1 1 1; 1 −1 2; 2 1 −1): termenii cu plus sunt 1 + 4 + 1 = 6, termenii cu minus (−2) + 2 + (−1) = −1, deci Δ = 6 − (−1) = 7 ≠ 0.
Determinanții necunoscutelor:
Δx = det (6 1 1; 5 −1 2; 1 1 −1) = 13 − 6 = 7;Δy = det (1 6 1; 1 5 2; 2 1 −1) = 20 − 6 = 14;Δz = det (1 1 6; 1 −1 5; 2 1 1) = 15 − (−6) = 21.
Soluția: x = 7/7 = 1, y = 14/7 = 2, z = 21/7 = 3.
Verificare: 1 + 2 + 3 = 6, 1 − 2 + 6 = 5, 2 + 2 − 3 = 1. ✓
Verificarea în toate cele trei ecuații este esențială: o greșeală de semn într-un singur determinant dă o soluție greșită, iar înlocuirea o descoperă imediat.
Sisteme cu parametru
Cele mai multe probleme de BAC au un parametru în coeficienți. Planul este mereu același: calculezi Δ în funcție de parametru, tratezi separat cazul Δ ≠ 0 (Cramer) și valorile pentru care Δ = 0.
Se consideră sistemul x + y + z = 3, x − y + z = 1, x + y + az = a + 2, unde a este număr real.
a) Arătați că determinantul matricei sistemului este 2(1 − a).
Rezolvare: Δ = det (1 1 1; 1 −1 1; 1 1 a). Termenii cu plus: −a + 1 + 1 = 2 − a; termenii cu minus: −1 + 1 + a = a. Deci Δ = 2 − a − a = 2 − 2a = 2(1 − a).
b) Pentru a ≠ 1, rezolvați sistemul.
Rezolvare: Δ ≠ 0, deci sistemul este de tip Cramer. Se obține Δx = Δy = Δz = 2(1 − a), de unde x = y = z = 1. Verificare în ecuația a treia: 1 + 1 + a = a + 2. ✓
c) Arătați că pentru a = 1 sistemul are o infinitate de soluții.
Rezolvare: Pentru a = 1, ecuația a treia devine x + y + z = 3, identică cu prima. Rămân x + y + z = 3 și x − y + z = 1. Scăzându-le, 2y = 2, deci y = 1, iar x + z = 2. Notând z = α, soluțiile sunt (2 − α, 1, α), cu α ∈ ℝ: sistemul este compatibil nedeterminat.
Atenție: În cazul Δ = 0 nu împărți la Δ. Înlocuiește valoarea parametrului în sistem și rezolvă-l direct (prin reducere sau substituție), apoi spune explicit de ce tip este: compatibil nedeterminat sau incompatibil.
Sisteme omogene
Un sistem este omogen dacă toți termenii liberi sunt 0. Un astfel de sistem are întotdeauna soluția banală (0, 0, 0), deci nu este niciodată incompatibil. Întrebarea interesantă este când are și alte soluții:
Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul mx + y + z = 0, x + my + z = 0, x + y + mz = 0 are și soluții diferite de soluția nulă.
Rezolvare: Δ = det (m 1 1; 1 m 1; 1 1 m) = m³ + 2 − 3m = (m − 1)²(m + 2). Sistemul are soluții nenule dacă și numai dacă Δ = 0, adică m ∈ {−2, 1}.
De exemplu, pentru m = −2, tripletul (1, 1, 1) verifică toate ecuațiile: −2 + 1 + 1 = 0. Pentru m = 1, toate ecuațiile devin x + y + z = 0, iar (1, −1, 0) este o soluție nenulă.
Factorizarea lui m³ − 3m + 2 se face ghicind rădăcina m = 1; tehnica este aceeași ca la polinoame, iar calculul determinantului este cel din articolul despre determinanți.
Metoda lui Gauss și teorema lui Rouché
Metoda lui Gauss (eliminarea succesivă a necunoscutelor) funcționează pentru orice sistem, inclusiv când Δ = 0 sau când numărul de ecuații diferă de numărul de necunoscute. Folosești o ecuație pentru a elimina o necunoscută din celelalte, până ajungi la o formă „în trepte”.
La M1, compatibilitatea se discută și cu ajutorul rangului. Teorema lui Kronecker–Capelli spune că un sistem este compatibil dacă și numai dacă rang A = rang Ā. Teorema lui Rouché formulează același criteriu prin determinanții caracteristici, care trebuie să fie toți nuli. De exemplu, pentru sistemul x + y = 2, 2x + 2y = 5, matricea sistemului are rangul 1, iar matricea extinsă are rangul 2, deci sistemul este incompatibil.
Greșeli frecvente
- Înlocuirea liniei în loc de coloană la calculul lui
Δx. - Aplicarea regulii lui Cramer când
Δ = 0. - Concluzia „
Δ = 0, deci incompatibil”, fără a verifica efectiv sistemul. - Ordinea greșită a coeficienților când o necunoscută lipsește dintr-o ecuație: coeficientul ei este 0 și trebuie scris în matrice.
Sfat: Rescrie sistemul cu necunoscutele aliniate în coloane (x, apoi y, apoi z) înainte să scrii matricea. Jumătate dintre greșelile de la acest capitol vin dintr-o matrice copiată greșit.
Întrebări frecvente
Când pot aplica regula lui Cramer?
Regula lui Cramer se aplică sistemelor cu același număr de ecuații și necunoscute, al căror determinant este nenul. Atunci soluția este unică: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ.
Ce înseamnă că un sistem este compatibil nedeterminat?
Înseamnă că sistemul are o infinitate de soluții. Soluțiile se exprimă în funcție de una sau mai multe necunoscute secundare, notate de obicei cu α, β.
Când are un sistem omogen soluții nenule?
Un sistem omogen cu același număr de ecuații și necunoscute are soluții diferite de cea nulă dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este 0.